Estime o comprimento de onda e a frequência associados a um elétron com:
velocidade igual a
.
velocidade igual a
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: estimar o comprimento de onda e a frequência associados a um elétron que se move com velocidade
.
Informações dadas (explicitadas):
Não foram dadas outras informações, então usaremos constantes físicas conhecidas: a massa de repouso do elétron e a constante de Planck.
Informações dadas (explicitadas):
Não foram dadas outras informações, então usaremos constantes físicas conhecidas: a massa de repouso do elétron e a constante de Planck.
Passo 2
Qual fórmula usar para o comprimento de onda? A ideia de de Broglie diz que a matéria tem comportamento ondulatório com comprimento de onda dado por
onde
é o comprimento de onda,
é a constante de Planck e
é o momento linear da partícula. Aqui cada símbolo significa:
-
é a constante de Planck, valor . -
é o momento linear. Em regime não relativístico (velocidade bem menor que a da luz) temos , onde é a massa do elétron e a velocidade.
Vamos inicialmente usar a aproximação não relativística, porque é a forma mais simples e costuma ser a esperada em exercícios desse tipo. Depois verifico rapidamente a correção relativística (útil porqueaqui é uma fração razoável de ).
Constante e massa do elétron que vamos usar:
Passo 3
Aplicando
. Substituindo os números:
Faço as potências de dez separadas e a razão numérica:
Interpretação simples: o elétron com
tem comprimento de onda da ordem de alguns picometros (
).
Passo 4
Agora a frequência associada. Aqui é preciso esclarecer o que queremos por “frequência”: existem duas quantidades relacionadas a ondas de matéria — a frequência de fase (associada à energia total, incluindo energia de repouso) e a frequência ligada à energia cinética (mais útil para a dinâmica do pacote de ondas). Em muitos exercícios de graduação espera-se a frequência associada à energia cinética, dada por
onde
é a energia cinética do elétron. Vou calcular essa frequência (que é a mais intuitiva quando pensamos na “energia disponível” para a parte ondulatória não-relativística). Também comentarei a diferença numérica com a frequência de fase (energia total) ao final.
Passo 5
Calcular a energia cinética não relativística:
Substituindo:
Agora a frequência
:
Passo 6
Verificação da validade da aproximação não relativística para o comprimento de onda: calculemos o fator de Lorentz
Com
temos
, então
No tratamento relativístico o momento é
, logo a correção no comprimento de onda é dividir o valor não relativístico por
. Assim
Conclusão sobre erro: a diferença entre o resultado simples e o relativístico é de cerca de
. Para uma estimativa de prova (sem calculadora muito precisa) a fórmula não relativística é aceitável, mas se quiser máxima precisão use a versão com
.
Passo 7
Resumo e interpretação física curta: o comprimento de onda de de Broglie está na escala de vários picometros (ordem atômica/menor que átomos), e a frequência associada à energia cinética é da ordem de
. Dá para ver que a frequência de fase total (usando a energia total
) seria muito maior (da ordem de
), por isso é importante especificar qual energia usamos — aqui usamos a energia cinética, que é o sentido comum em exercícios desse tipo. Força aí — deu trabalho, mas agora você tem os passos e sabe onde cada fórmula vem!