Estime o comprimento de onda e a frequência associados a um elétron com:
velocidade igual a 10^{8} \mathrm{m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: estimar o comprimento de onda e a frequência associados a um elétron que se move com velocidade \;10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Informações dadas (explicitadas):
\;v = 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Não foram dadas outras informações, então usaremos constantes físicas conhecidas: a massa de repouso do elétron e a constante de Planck.

Passo 2

Qual fórmula usar para o comprimento de onda? A ideia de de Broglie diz que a matéria tem comportamento ondulatório com comprimento de onda dado por
\lambda = \frac{h}{p},
onde \lambda é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula. Aqui cada símbolo significa:
  • \;h é a constante de Planck, valor \;h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • \;p é o momento linear. Em regime não relativístico (velocidade bem menor que a da luz) temos \;p = m v, onde m é a massa do elétron e v a velocidade.
    Vamos inicialmente usar a aproximação não relativística, porque é a forma mais simples e costuma ser a esperada em exercícios desse tipo. Depois verifico rapidamente a correção relativística (útil porque \;v aqui é uma fração razoável de c).
    Constante e massa do elétron que vamos usar:
    \;m_e = 9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Aplicando \lambda = \dfrac{h}{m_e v}. Substituindo os números:
\lambda = \frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{(9{,}10938356\times10^{-31})\cdot(10^{8})}.
Faço as potências de dez separadas e a razão numérica:
(9{,}10938356\times10^{-31})\cdot(10^{8}) = 9{,}10938356\times10^{-23}.
\lambda = \frac{6{,}62607015}{9{,}10938356}\times10^{-34+23} = 0{,}727344\ldots\times10^{-11} \approx 7{,}27\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
Interpretação simples: o elétron com 10^{8}\\ \mathrm{m/s} tem comprimento de onda da ordem de alguns picometros ( 1\\ \mathrm{pm}=10^{-12}\\ \mathrm{m}).

Passo 4

Agora a frequência associada. Aqui é preciso esclarecer o que queremos por “frequência”: existem duas quantidades relacionadas a ondas de matéria — a frequência de fase (associada à energia total, incluindo energia de repouso) e a frequência ligada à energia cinética (mais útil para a dinâmica do pacote de ondas). Em muitos exercícios de graduação espera-se a frequência associada à energia cinética, dada por
f = \frac{E_{\text{cin}}}{h},
onde E_{\text{cin}} é a energia cinética do elétron. Vou calcular essa frequência (que é a mais intuitiva quando pensamos na “energia disponível” para a parte ondulatória não-relativística). Também comentarei a diferença numérica com a frequência de fase (energia total) ao final.

Passo 5

Calcular a energia cinética não relativística:
E_{\text{cin}} = \tfrac{1}{2} m_e v^{2}.
Substituindo:
E_{\text{cin}} = \tfrac{1}{2}\cdot(9{,}10938356\times10^{-31})\cdot(10^{8})^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot9{,}10938356\times10^{-15} =4{,}55469178\times10^{-15}\\ \mathrm{J}.
Agora a frequência \;f = E_{\text{cin}}/h:
f = \frac{4{,}55469178\times10^{-15}}{6{,}62607015\times10^{-34}} \approx 6{,}87\times10^{18}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Verificação da validade da aproximação não relativística para o comprimento de onda: calculemos o fator de Lorentz
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}},\quad c\approx 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Com v=10^{8}\\ \mathrm{m/s} temos v/c \approx 0{,}333, então
\gamma \approx \frac{1}{\sqrt{1-0{,}333^{2}}} \approx 1{,}06.
No tratamento relativístico o momento é p=\gamma m_e v, logo a correção no comprimento de onda é dividir o valor não relativístico por \gamma. Assim
\lambda_{\text{rel}} \approx \frac{\lambda_{\text{n.r.}}}{\gamma} \approx \frac{7{,}27\times10^{-12}}{1{,}06} \approx 6{,}86\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
Conclusão sobre erro: a diferença entre o resultado simples e o relativístico é de cerca de 6\%. Para uma estimativa de prova (sem calculadora muito precisa) a fórmula não relativística é aceitável, mas se quiser máxima precisão use a versão com \gamma.

Passo 7

Resumo e interpretação física curta: o comprimento de onda de de Broglie está na escala de vários picometros (ordem atômica/menor que átomos), e a frequência associada à energia cinética é da ordem de 10^{19}\\ \mathrm{Hz}. Dá para ver que a frequência de fase total (usando a energia total E=\gamma m c^{2}) seria muito maior (da ordem de 10^{20}\\ \mathrm{Hz}), por isso é importante especificar qual energia usamos — aqui usamos a energia cinética, que é o sentido comum em exercícios desse tipo. Força aí — deu trabalho, mas agora você tem os passos e sabe onde cada fórmula vem!

Resposta

\lambda \approx 7{,}27\times10^{-12}\\ \mathrm{m}
f \approx 6{,}87\times10^{18}\\ \mathrm{Hz}

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