Estime a energia de dissociação para { }^{12} \mathrm{C}^{16} \mathrm{O} sabendo que \omega_{\mathrm{e}}=2169,52 \mathrm{~cm}^{-1} e \omega_{\mathrm{e}} \chi_{\mathrm{e}}=13,453 \mathrm{~cm}^{-1} \cdot(1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado pede que se estime a energia de dissociação do diatômico { }^{12}\mathrm{C}^{16}\mathrm{O} e fornece os dois parâmetros vibracionais:
  • \omega_{\mathrm{e}} = 2169,52\\ \mathrm{cm}^{-1};
  • \omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}} = 13,453\\ \mathrm{cm}^{-1}.
O que se espera é uma energia de dissociação associada ao potencial vibracional (vou calcular tanto a energia de dissociação medida a partir do mínimo do potencial, chamada \,D_{\mathrm{e}}\, — nível zero do potencial — como a energia de dissociação a partir do nível vibracional fundamental v=0, chamada \,D_{0}\,).

Passo 2

Conceito físico básico (passo-a-passo, sem pressa):
  • Níveis vibracionais de uma molécula real (anarmônica) são aproximados pela expansão
G(v)=\omega_{\mathrm{e}}\left(v+\tfrac{1}{2}\right)-\omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}}\left(v+\tfrac{1}{2}\right)^{2},
onde:
  • G(v) é a energia do nível vibracional v em unidades de \mathrm{cm}^{-1} (energia dividida por hc);
  • \omega_{\mathrm{e}} é a constante vibracional (em \mathrm{cm}^{-1});
  • \chi_{\mathrm{e}} é a constante de anarmonicidade (adimensional); na prática foi fornecido o produto \omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}} em \mathrm{cm}^{-1}.
  • A parábola em x=v+\tfrac{1}{2} tem concavidade negativa (termina em zero quando se alcança a dissociação). O valor máximo contínuo da função quadrática (quando tratamos v como variável contínua) dá a energia (em \mathrm{cm}^{-1}) do topo do poço, isto é \,D_{\mathrm{e}}/hc.

Passo 3

Derivação da fórmula prática para \,D_{\mathrm{e}}\, (passo-a-passo, bem didático):
  • Defina x=v+\tfrac{1}{2}. Então
G(x)=\omega_{\mathrm{e}}x-\omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}}x^{2}.
  • Como é uma parábola com coeficiente de x^{2} negativo, o máximo (no modelo contínuo) ocorre quando a derivada em relação a x é zero:
\frac{dG}{dx}=\omega_{\mathrm{e}}-2\omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}}x=0
o que dá
x_{\max}=\frac{\omega_{\mathrm{e}}}{2\omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}}}=\frac{1}{2\chi_{\mathrm{e}}}.
  • Substituindo x_{\max} em G(x) obtemos o valor máximo (energia de dissociação medida em \mathrm{cm}^{-1}):
\frac{D_{\mathrm{e}}}{hc}=G(x_{\max}) =\omega_{\mathrm{e}}\left(\frac{1}{2\chi_{\mathrm{e}}}\right)-\omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}}\left(\frac{1}{2\chi_{\mathrm{e}}}\right)^{2} =\frac{\omega_{\mathrm{e}}}{4\chi_{\mathrm{e}}}.
  • Usando o produto fornecido \omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}} é conveniente escrever \chi_{\mathrm{e}}=\dfrac{\omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}}}{\omega_{\mathrm{e}}}. Outra forma prática de calcular é
\frac{D_{\mathrm{e}}}{hc}=\frac{\omega_{\mathrm{e}}^{2}}{4(\omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}})}.
Esta expressão dá D_{\mathrm{e}} em unidades de \mathrm{cm}^{-1}.

Passo 4

Cálculo numérico de \,D_{\mathrm{e}}\, (detalhado, etapa a etapa):
  • Primeiro compute \omega_{\mathrm{e}}^{2}. Uso um truque para fazer à mão:
2169{,}52^{2}=(2170-0{,}48)^{2}=2170^{2}-2\cdot2170\cdot0{,}48+0{,}48^{2}.
2170^{2}=4\,708\,900,\quad 2\cdot2170\cdot0{,}48=2\,083{,}2,\quad 0{,}48^{2}=0{,}2304.
2169{,}52^{2}=4\,708\,900-2\,083{,}2+0{,}2304=4\,706\,817{,}0304.
  • Agora calcule o denominador 4(\omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}})=4\cdot13{,}453=53{,}812.
  • Portanto
\frac{D_{\mathrm{e}}}{hc}=\frac{2169{,}52^{2}}{4\cdot13{,}453}=\frac{4\,706\,817{,}0304}{53{,}812}\approx 87\,486{,}4\\ \mathrm{cm}^{-1}.
(Arredondei no final mantendo algumas casas significativas.)

Passo 5

Cálculo da energia de dissociação a partir do nível vibracional fundamental v=0, isto é \,D_{0}\,:
  • A energia do nível v=0 é
G(0)=\omega_{\mathrm{e}}\left(\tfrac{1}{2}\right)-\omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} =\frac{\omega_{\mathrm{e}}}{2}-\frac{\omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}}}{4}.
  • Compute numericamente:
\frac{\omega_{\mathrm{e}}}{2}=\frac{2169{,}52}{2}=1084{,}76, \qquad \frac{\omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}}}{4}=\frac{13{,}453}{4}=3{,}36325.
G(0)=1084{,}76-3{,}36325=1081{,}39675\\ \mathrm{cm}^{-1}.
  • Finalmente
D_{0}=D_{\mathrm{e}}-hc\cdot G(0)\\ (\text{em unidades de }\mathrm{cm}^{-1}\text{ isso é }D_{0}/hc=D_{\mathrm{e}}/hc-G(0)),é
ou seja numericamente
D_{0}\approx 87\,486{,}4-1\,081{,}39675 \approx 86\,405{,}0\\ \mathrm{cm}^{-1}.

Resposta

D_{\mathrm{e}}\approx 8{7}\,486{,}4\\ \mathrm{cm}^{-1}
D_{0}\approx 8{6}\,405{,}0\\ \mathrm{cm}^{-1}

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