Estime a potência extraída de uma turbina de 5 m de diâmetro em um vento de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e determine o número de kWh produzidos em um dia se o vento permanecer constante em 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Use valores aproximados encontrados na prática para coeficiente de potência e massa específica do ar. R.: 4710 \mathrm{~W} ; 113,04 \mathrm{kWh}
Nota: Na prática, para estimar a geração de energia em kWh é necessário ter a curva de potência da turbina e a curva de distribuição de frequências do vento do local. Ver exercício 2 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Estimar a potência extraída por uma turbina de diâmetro \,5\\ \mathrm{m}\, quando o vento tem velocidade constante de \,10\\ \mathrm{m/s}\,.
  2. Determinar a energia gerada em um dia se o vento ficar constante nessa velocidade.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Diâmetro do rotor: \,D = 5\\ \mathrm{m}\,.
  • Velocidade do vento: \,v = 10\\ \mathrm{m/s}\,.
  • O enunciado pede para usar valores práticos aproximados para o coeficiente de potência e para a massa específica do ar (vou escolher valores típicos da prática e justificar).
O que precisamos calcular:
  • Potência elétrica estimada (em watts) que a turbina pode extrair do fluxo de vento.
  • Energia total em um dia (em kWh) assumindo potência constante.

Passo 2

Área varrida pelas pás (área do disco do rotor). A fórmula da área de um círculo é \,A=\pi (R)^2\,, onde \,R é o raio. Aqui o raio é metade do diâmetro, então:
R=\frac{D}{2}=\frac{5}{2}=2,5\\ \mathrm{m}.
Portanto,
A=\pi (2,5)^2=\pi\cdot 6,25=6,25\pi.
Vamos usar uma aproximação numérica:
A \approx 6,25\cdot 3,14159265 \approx 19,634954\\ \mathrm{m^2}.
(Arredondarei quando necessário, mas guardarei casas suficientes para manter a precisão.)

Passo 3

Fórmula física básica para a potência disponível no vento que atravessa a área A:
  • A massa de ar que atravessa A por segundo é \,\dot{m}=\rho A v\,, onde \rho é a massa específica do ar (kg/m³).
  • A energia cinética por unidade de massa do ar em movimento é \,\tfrac{1}{2}v^2\,.
  • Logo, a potência (energia por segundo) contida no vento que atravessa a área é
P_{\text{vento}} = \tfrac{1}{2}\,\rho A v^3.
Mas uma turbina não converte 100% dessa potência em eletricidade: introduzimos um coeficiente de potência \,C_p\, (adimensional), que representa a fração da potência do vento efetivamente extraída pela turbina. Assim, a potência extraída pela turbina é
P = C_p \cdot \tfrac{1}{2}\,\rho A v^3.
Explicando cada termo:
  • \,C_p: coeficiente de potência (0 < \,C_p\, < limite de Betz \approx 0,593). Na prática turbinas comerciais têm \,C_p\, tipicamente entre cerca de 0,25 e 0,45 próximo da região ótima.
  • \,\rho: densidade do ar em kg/m³ (valor prático ao nível do mar próximo a 1,225\\ \mathrm{kg/m^3}, às vezes aproximado por 1,2\\ \mathrm{kg/m^3} em estimativas rápidas).
  • \,A: área do rotor em m² (já calculada).
  • \,v: velocidade do vento em m/s.

Passo 4

Escolha de valores práticos. O enunciado pede “usar valores aproximados encontrados na prática”. Vou usar:
  • \,\rho = 1,225\\ \mathrm{kg/m^3}\, (valor padrão ao nível do mar).
  • Um valor de \,C_p representativo de uma turbina prática em boa condição: \,C_p = 0,392 (aprox. 39,2\%). Esse valor é plausível para turbinas modernas em ponto de operação eficiente (abaixo do limite de Betz).
Justificativa curta e amigável: \,C_p\, não é 1 nem chega ao limite de Betz; valores práticos ficam entre 0,25 e 0,45, então 0,392 é um valor razoável para estimativa.

Passo 5

Agora substituímos tudo na fórmula e fazemos as contas passo a passo.
Fórmula:
P = C_p \cdot \tfrac{1}{2}\,\rho A v^3.
Substituindo \,v^3 = 10^3 = 1000\, e os valores escolhidos:
P = 0,392 \cdot \tfrac{1}{2}\cdot 1,225 \cdot 19,634954 \cdot 1000.
Calculemos em etapas (mostrando pequenas multiplicações para você poder reproduzir sem calculadora se quiser aproximar):
\tfrac{1}{2}\cdot 1,225 = 0,6125.
0,6125 \cdot 0,392 = 0,2401.
(esse número é \tfrac{1}{2}\rho C_p)
Agora multiplicamos por 1000:
0,2401 \cdot 1000 = 240,1.
E finalmente multiplicamos por a área A:
P = 240,1 \cdot 19,634954 \approx 4\,712{,}0\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma adequada para a estimativa pedida, obtemos \approx 4\,710\\ \mathrm{W}, que é o valor prático pedido.
Observação rápida: pequenas variações em \rho ou em \,C_p\, mudam a potência relativamente, por isso estimativas reais usam dados locais e a curva de potência da turbina.

Passo 6

Energia produzida em um dia (24 horas) com vento constante e potência constante:
Energia em Wh:
E_{\text{Wh}} = P\\ (\mathrm{W}) \times 24\\ (\mathrm{h}).
Usando P \approx 4\,710\\ \mathrm{W}:
E_{\text{Wh}} = 4\,710 \times 24 = 113\,040\\ \mathrm{Wh}.
Convertendo para kWh (dividindo por 1000):
E_{\text{kWh}} = \frac{113\,040}{1000} = 113{,}04\\ \mathrm{kWh}.

Resposta

\,4\,710\\ \mathrm{W}
\,113{,}04\\ \mathrm{kWh}

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