PARTE 2 (resolvida)
Água é bombeada de poço artesiano até o topo de um prédio.
Espera-se que a bomba encha o tanque superior de 2 m 3 após o tempo de 30 minutos.
Use a velocidade recomendada.
Quais os diâmetros mais apropriados para a tubulação considerando que devido a restrições, na metade da altura, este diâmetro é alterado para o próximo superior da série. Qual o HEAD da bomba?
O material da tubulação é aço carbono.

Passo 1

O enunciado (resumido) e os dados fornecidos:
  • Volume a encher: \,2\\ \text{m}^3.
  • Tempo disponível: \,30\\ \text{min}.
  • Material da tubulação: aço carbono (isto nos dá a rugosidade absoluta).
  • Condição adicional: na metade da altura o diâmetro é alterado para o próximo superior da série de diâmetros.
  • Pedido: escolher os diâmetros mais apropriados para a tubulação e calcular o HEAD da bomba.
Dados que NÃO foram fornecidos (essenciais para calcular o HEAD da bomba):
  • A altura vertical a ser vencida (distância do nível de captação até o tanque no topo), isto é, a carga estática \,H_\text{estática}á.
  • O comprimento total da tubulação e a repartição de comprimentos nas duas seções (antes e depois da metade).
  • Número e tipo de peças (curvas, registros, válvulas, entradas, saídas) e perdas localizadas associadas.
    Sem essas informações não há como obter numericamente o HEAD total da bomba. Vou, porém, mostrar passo a passo como se escolhem os diâmetros a partir da vazão e como se calcula o HEAD quando esses dados estiverem disponíveis — assim você aprende e pode aplicar direto na prova.

Passo 2

Calcular a vazão necessária a partir do volume e do tempo (fórmula e interpretação):
  • Fórmula: \displaystyle Q=\frac{V}{t}, onde \,Q é a vazão em \text{m}^3/\text{s}, \,V o volume em \text{m}^3 e \,t o tempo em segundos.
  • Aplicando: \,V=2\\ \text{m}^3 e \,t=30\\ \text{min}=1800\\ \text{s}.
Q=\frac{2}{1800}=\frac{1}{900}\\ \text{m}^3/\text{s}\approx 0,001111\\ \text{m}^3/\text{s}.
(em L/s: \,Q\approx 1,111\\ \text{L/s}.)
Explicação rápida: na prova, sempre converta o tempo para segundos quando quiser \text{m}^3/\text{s}; é uma regra prática para usar as fórmulas da hidráulica.

Passo 3

Como escolher o diâmetro a partir da vazão (continuidade) — apresentação da fórmula:
  • Relação fundamental: \displaystyle Q = A \, v, onde \,A é a área da secção ( \,A=\pi d^2/4) e \,v a velocidade média do fluido.
  • Isolando o diâmetro:
d=\sqrt{\frac{4Q}{\pi v}}.
Aqui entra a “velocidade recomendada”. Em projetos práticos de água em tubulações metálicas usa‑se tipicamente uma velocidade entre aproximadamente \,0,6 e \,2,0\\ \text{m/s}; para edifícios e para evitar ruído e perdas excessivas, um valor comum de projeto é \,v_\text{rec}=1{,}5\\ \text{m/s}. Vou adotar esse valor como “velocidade recomendada” (se no enunciado da sua prova estiver outro valor, basta substituir no cálculo).
Cálculo do diâmetro com \,v_\text{rec}=1{,}5\\ \text{m/s}:
d=\sqrt{\frac{4\cdot 0{,}001111\ldots}{\pi\cdot 1{,}5}} \approx 0{,}0307\\ \text{m}\approx 30{,}7\\ \text{mm}.
Interpretação prática e escolha de diâmetro comercial:
  • Séries comuns (nominais) de tubos em mm: \,25,\\\ 32,\\\ 40,\\\ 50,\\\ 65,\\\ 80,\\\ 100,\ldots (vou usar essa série métrica como referência).
  • Como o cálculo deu \,30{,}7\\ \text{mm}, o diâmetro comercial imediatamente superior é \,32\\ \text{mm} (DN32).
  • A condição do enunciado diz que “na metade da altura este diâmetro é alterado para o próximo superior da série” — portanto:
    • Seção inferior (do poço até metade da altura): usar \,d_1=32\\ \text{mm} (aprox. \,0{,}032\\ \text{m}).
    • Seção superior (da metade até o tanque): usar o próximo diâmetro da série, \,d_2=40\\ \text{mm} (aprox. \,0{,}040\\ \text{m}).
Comentário amigável: basicamente você calcule o diâmetro ideal com a equação contínua e depois “arredonda” para o diâmetro comercial maior para garantir que a velocidade não fique acima do recomendado.

Passo 4

Como calcular as perdas por atrito (fórmula e conceitos) — o que precisaremos para o HEAD:
  • Fórmula de Darcy–Weisbach (perda por atrito em um trecho retilíneo):
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g},
onde
  • \,h_f é a perda de carga por atrito (m),
  • \,f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • \,L é o comprimento do trecho de tubo (m),
  • \,D é o diâmetro interno do tubo (m),
  • \,v é a velocidade média (m/s),
  • \,g é a aceleração da gravidade ( \,9{,}81\\ \text{m/s}^2).
  • Cálculo do fator de atrito para escoamento turbulento: fórmula prática de Swamee–Jain
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\Big(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{\text{Re}^{0{,}9}}\Big)\right]^2},
com \displaystyle \text{Re}=\frac{vD}{\nu} (número de Reynolds) e \nu viscosidade cinemática da água ( \approx 1\times10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s} à temperatura ambiente).
  • Para aço carbono, rugosidade absoluta típica: \,\varepsilon\approx 0{,}045\\ \text{mm}=4{,}5\times10^{-5}\\ \text{m}.
Observação didática: na prova, normalmente você calcula \,v (a partir de Q e D), depois \text{Re}, depois usa Swamee–Jain (ou resolve Colebrook) para obter f e então aplica Darcy–Weisbach para obter as perdas por atrito num trecho. Some perdas de cada trecho e somem perdas localizadas.

Passo 5

Cálculo numérico ilustrativo dos parâmetros nas duas seções (usando os diâmetros escolhidos e \,Q já calculado):
  • Seção 1: \,d_1=0{,}032\\ \text{m}.
    • Área: \,A_1=\pi d_1^2/4.
    • Velocidade: \,v_1=\dfrac{Q}{A_1}\approx 1{,}50\\ \text{m/s} (coerente com a escolha).
    • Número de Reynolds: \displaystyle \text{Re}_1=\frac{v_1 d_1}{\nu}\approx 4{,}8\times10^{4}.
    • Usando \varepsilon=4{,}5\times10^{-5}\\ \text{m} e a fórmula de Swamee–Jain obtemos aproximadamente \,f_1\approx 0{,}0255.
    • Termo dinâmico: \,\dfrac{v_1^2}{2g}\approx 0{,}115\\ \text{m}.
    • Perda por metro: \displaystyle \frac{h_{f1}}{L} = f_1\frac{1}{d_1}\frac{v_1^2}{2g}\approx 0{,}091\\ \text{m/m} (ou \,9{,}1\\ \text{m} por 100\\ \text{m}).
  • Seção 2: \,d_2=0{,}040\\ \text{m}.
    • Velocidade: \,v_2=\dfrac{Q}{\pi d_2^2/4}\approx 0{,}885\\ \text{m/s}.
    • \displaystyle \text{Re}_2\approx 3{,}5\times10^{4}.
    • Swamee–Jain → \,f_2\approx 0{,}0258.
    • \displaystyle \frac{v_2^2}{2g}\approx 0{,}0399\\ \text{m}.
    • Perda por metro: \displaystyle \frac{h_{f2}}{L}\approx f_2\frac{1}{d_2}\frac{v_2^2}{2g}\approx 0{,}0257\\ \text{m/m} (ou \,2{,}57\\ \text{m} por 100\\ \text{m}).
Interpretação: com o diâmetro maior na segunda metade as perdas por metro caem bastante — por isso a prática de aumentar diâmetro em trechos verticais longos pode ser vantajosa.

Passo 6

Fórmula final do HEAD da bomba (o que exatamente somar) e como aplicar com os dados completos:
  • EXPRESSÃO GERAL:
H_\text{bomba} = H_\text{estática} + H_\text{geodésica\;sucção/descarga (se houver)} + \sum h_f + \sum h_\text{local} + H_\text{segurança},áéçãç
onde
  • \,H_\text{estática}á é a elevação entre nível de captação e superfície do tanque (m),
  • \sum h_f são as perdas por atrito (usar Darcy–Weisbach para cada trecho),
  • \sum h_\text{local} são perdas localizadas (entradas, curvas, válvulas) tipicamente expressas como K\cdot\dfrac{v^2}{2g} — some os K das peças,
  • \,H_\text{segurança}ç uma margem (por exemplo 1–3 m) para garantir operação segura.
  • Como usar os cálculos do Passo 5:
    1. Determine os comprimentos reais L_1 e L_2 das duas seções (cada uma corresponde à metade da altura se for exatamente dividido).
    2. Calcule h_{f1}= (h_{f1}/L)\times L_1 e h_{f2}= (h_{f2}/L)\times L_2.
    3. Some perdas localizadas convertendo cada uma em metros de coluna d’água: \,h_\text{local}=K\cdot\dfrac{v^2}{2g} (use a velocidade do trecho onde a peça está).
    4. Some tudo com a carga estática \,H_\text{estática}á.
Importante: sem \,H_\text{estática}á e sem os comprimentos e peças não há valor numérico final para \,H_\text{bomba}. Por isso escrevo abaixo o que falta para você aplicar direto na prova.

Passo 7

O que falta para obter numericamente o HEAD da bomba (resumido — leve isto para a prova):
  • Altura vertical (ou nível de sucção e nível do tanque): \,H_\text{estática}á.
  • Comprimento total da tubulação e como ele se divide entre a seção com \,d_1 e a seção com \,d_2.
  • Número e tipo de curvas, registros e outros equipamentos (para estimar \,K das perdas localizadas).
  • Se houver opção de sucção rasa, altura negativa de sucção etc., isso também afeta o cálculo.
Se você me der esses dados eu faço o cálculo numérico do HEAD rapidamente (mas sei que você pediu para eu não fazer perguntas — então deixei claro o que falta).

Resposta

Diâmetros recomendados: \,d_1=32\\ \text{mm} (seção inferior) e \,d_2=40\\ \text{mm} (seção superior, próximo superior da série).\nHEAD da bomba: não é possível calcular numericamente — faltam os dados da altura vertical (carga estática), os comprimentos das seções e as perdas localizadas (nº/tipo de curvas, válvulas etc.).

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