(a) Estime quantos passos aleatórios um fóton que parte do centro do Sol precisa dar em média para alcançar o raio R em que a convecção se torna importante.
(b) Quantos anos um fóton levaria em média para chegar até lá?

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo duas coisinhas:
(a) quantos “saltos” (passos aleatórios) um fóton precisa dar, em média, saindo do centro do Sol até chegar na camada em que a convecção vira o processo dominante;
(b) quanto tempo isso leva, em anos.
Conteúdo envolvido: passeio aleatório (random walk) em 3D e tempo de difusão de fótons. Vamos precisar da relação
lang<= r^2 rang<= = N,l^2
onde é o caminho livre médio do fóton (distância entre colisões) e é o número de passos. Também vamos usar que o fóton se desloca à velocidade da luz , então cada passo demora, em média, .

Passo 2

Primeiro, a parte da teoria do passeio aleatório:
  • Num passeio aleatório em 3D, depois de lang<= r^2 rang<= = N,l^2 passos de tamanho fixo N = r^2l^2 , o deslocamento quadrático médio é
  • Se queremos que o fóton chegue a uma distância do ponto de partida, a gente impõe .
    Então

Passo 3

Agora, vamos aos valores típicos dentro do Sol:
  • Distância do centro até a base da zona convectiva: r approx 0,7times7times10^10,cm = 5,0times10^10,cm . Como N ;=;r^2l^2 = l(5,0times10^10r)^21^2 = 2,5times10^21  cm, fica
  • Caminho livre médio do fóton:  cm.
Então o número de passos é

Passo 4

Para achar o tempo total, cada passo demora
tau = lc,
com t = N,tau = N,lc = r^2l^2;lc = r^2l,c  cm/s. Logo o tempo total é
t = (5,0times10^10,cm)^21,cm;times;3times10^10,cm/s = 2,5times10^213times10^10,s approx 8,3times10^10,s
Substituindo:
t approx 8,3times10^103,15times10^7 approx 2,6times10^3,anos
Convertendo pra anos ( ano  s):

Resposta

(a) passos.
(b) anos.

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