O módulo da aceleração de um ponto de uma roda que está girando é multiplicado por 4, quando
(a) o módulo da velocidade angular e o módulo da aceleração angular são multiplicados por 4.
(b) o módulo da velocidade angular é multiplicado por 4 e a aceleração angular não muda.
© o módulo da velocidade angular e o módulo da aceleração angular são multiplicados por 2.
(d) o módulo da velocidade angular é multiplicado por 2 e a aceleração angular não muda.
(e) o módulo da velocidade angular é multiplicado por 2 e o módulo da aceleração angular é multiplicado por 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando sobre como a aceleração de um ponto numa roda girando muda quando a velocidade angular e a aceleração angular são modificadas. O conteúdo aqui é de cinemática rotacional, e para resolver vamos precisar entender como calcular a aceleração total de um ponto em movimento circular, que envolve tanto a aceleração centrípeta quanto a aceleração tangencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração total ( a) de um ponto numa roda que está girando é composta por duas partes:
  1. Aceleração centrípeta ( ac): é a que mantém o ponto na rota circular e é dada por:
    ac = r omega^2
    onde r é o raio da roda e omega é a velocidade angular.
  2. Aceleração tangencial ( at): é a responsável por mudar a velocidade angular e é dada por:
    at = r alpha
    onde alpha é a aceleração angular.
A aceleração total é a combinação dessas duas, considerando que elas são perpendiculares:
a = raizac^2 + at^2 = raiz(r omega^2)^2 + (r alpha)^2

Passo 3

Agora, precisamos entender como mudanças nos valores de omega e alpha afetam a aceleração total a. Vamos analisar cada opção para ver qual delas faz com que a seja multiplicada por 4.

Passo 4

Vamos analisar a opção ©:
© o módulo da velocidade angular e o módulo da aceleração angular são multiplicados por 2.
Se omega vira 2omega e alpha vira 2alpha, substituindo na fórmula da aceleração total:
a' = raiz(r (2omega)^2)^2 + (r (2alpha))^2 = raiz(4 r omega^2)^2 + (2 r alpha)^2 = raiz16 r^2 omega^4 + 4 r^2 alpha^2
Isso não resulta em a sendo multiplicado por 4. Vamos verificar outra opção.

Passo 5

Agora, vamos para a opção (b):
(b) o módulo da velocidade angular é multiplicado por 4 e a aceleração angular não muda.
Se omega vira 4omega e alpha permanece igual, a aceleração total fica:
a' = raiz(r (4omega)^2)^2 + (r alpha)^2 = raiz(16 r omega^2)^2 + r^2 alpha^2 = raiz256 r^2 omega^4 + r^2 alpha^2
Também não é uma multiplicação por 4. Vamos para outra.

Passo 6

Vamos verificar a opção (d):
(d) o módulo da velocidade angular é multiplicado por 2 e a aceleração angular não muda.
Então, omega vira 2omega e alpha permanece igual:
a' = raiz(r (2omega)^2)^2 + (r alpha)^2 = raiz(4 r omega^2)^2 + r^2 alpha^2 = raiz16 r^2 omega^4 + r^2 alpha^2
Ainda não é uma multiplicação por 4. Próxima opção.

Passo 7

Agora, vamos para a opção (a):
(a) o módulo da velocidade angular e o módulo da aceleração angular são multiplicados por 4.
Se omega vira 4omega e alpha vira 4alpha:
a' = raiz(r (4omega)^2)^2 + (r (4alpha))^2 = raiz(16 r omega^2)^2 + (4 r alpha)^2 = raiz256 r^2 omega^4 + 16 r^2 alpha^2
Ainda não é exatamente uma multiplicação por 4. Por fim, resta a opção (e).

Passo 8

Vamos ver a opção (e):
(e) o módulo da velocidade angular é multiplicado por 2 e o módulo da aceleração angular é multiplicado por 4.
Então, omega vira 2omega e alpha vira 4alpha:
a' = raiz(r (2omega)^2)^2 + (r (4alpha))^2 = raiz(4 r omega^2)^2 + (16 r alpha^2) = raiz16 r^2 omega^4 + 16 r^2 alpha^2 = 4 raizr^2 omega^4 + r^2 alpha^2 = 4a
Pronto! Aqui a aceleração total foi multiplicada por 4.

Resposta

A alternativa correta é a (e).

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