- gerar uma matriz
cujos elementos sejam números aleatórios gaussianos independentes com média zero e desvio padrão
;
- tomar a média de cada matriz com sua transposta para obter uma matriz simétrica.
Uma das propriedades mais notáveis que grandes matrizes aleatórias compartilham é a distribuição dos espaçamentos entre níveis.
(a) Gere um ensemble com
matrizes do GOE de tamanhos
, 4 e 10. Para cada matriz, determine os autovalores
, ordenados do menor para o maior, e calcule a diferença
entre autovalores consecutivos, mas apenas com
. (Utilizar as diferenças entre todos os autovalores consecutivos distorceria um pouco a distribuição e dificultaria a visualização nas próximas etapas.) Para cada valor de
, trace histogramas do espaçamento entre autovalores dividido pelo valor médio desses espaçamentos, utilizando caixas de largura suficientemente pequena para conseguir observar algumas flutuações. Você deve observar uma queda na altura dos histogramas quando o espaçamento tende a zero, que caracteriza o que se chama de repulsão entre níveis. (Se for utilizar o Mathematica, as funções RandomVariate, NormalDistribution, Transpose, Eigenvalues, Sort e Histogram são convenientes; veja a documentação do software.)
Para
, a distribuição de probabilidades dos espaçamentos pode ser calculada analiticamente. Vamos denotar a matriz por
.
(b) Mostre que a diferença entre os autovalores de
é
.
© As distribuições de probabilidade de
e
são gaussianas com média zero e desvio padrão
, ou seja
Lembrando que a matriz
é simetrizada por construção, e que portanto
corresponde à média de dois números aleatórios gaussianos, cada um com média zero e desvio padrão 1, mostre que a distribuição de probabilidade de
é
(d) Determine a distribuição de probabilidade de
, ou seja, calcule
.
Dica: efetue primeiro a transformação de variáveis
e
, integre sobre
e em seguida efetue uma segunda transformação para variáveis polares
e
tais que
e
.
(e) Reescale a distribuição do item anterior definindo
para fazer o espaçamento médio igual a 1 e mostre que o resultado é
que é conhecida como distribuição de espaçamentos de Wigner. Note que tanto
quanto
estão definidos apenas no intervalo
.
(f) Apesar de ter sido deduzida para
, a distribuição de espaçamentos de Wigner é uma boa aproximação para os resultados obtidos com
maior. Para verificar essa afirmação, trace os histogramas do item (a) junto com
em gráficos para
e
.
(g) Por fim, repita o item (a) para um outro ensemble, agora com matrizes simétricas cujos elementos sejam variáveis aleatórias
com igual probabilidade. As distribuições obtidas são quase universais, ou seja, são praticamente as mesmas para qualquer
, como ocorreu no item (a)? Para
, trace o histograma obtido e superponha
no mesmo gráfico. A concordância nesse caso parece razoável? O que isso sugere? Teste sua hipótese com outros ensembles de matrizes aleatórias simétricas que lhe ocorram.
Uma das propriedades mais notáveis que grandes matrizes aleatórias compartilham é a distribuição dos espaçamentos entre níveis.
(a) Gere um ensemble com
Para
(b) Mostre que a diferença entre os autovalores de
© As distribuições de probabilidade de
Dica: efetue primeiro a transformação de variáveis
(e) Reescale a distribuição do item anterior definindo
(f) Apesar de ter sido deduzida para
(g) Por fim, repita o item (a) para um outro ensemble, agora com matrizes simétricas cujos elementos sejam variáveis aleatórias
Passo 1
Então, o enunciado pede pra gente brincar com matrizes aleatórias simétricas (o chamado GOE), gerar histogramas de espaçamento de autovalores e, no caso mais simples (N=2), derivar a distribuição analítica desse espaçamento — que dá lá na famosa “surpresa de Wigner”
Conteúdo: Teoria de matrizes aleatórias (GOE), estatística de autovalores, transformações de variáveis, uso de deltas de Dirac e coordenadas polares.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Teoria de matrizes aleatórias (GOE), estatística de autovalores, transformações de variáveis, uso de deltas de Dirac e coordenadas polares.
O que vamos precisar:
- Calcular explicitamente os autovalores de uma matriz 2×2 simétrica.
- Conhecer as distribuições de Gaussianas de a, b, c e fazer a integral com delta.
- Fazer mudança de variáveis (x,y) e depois para coordenadas polares (r,θ).
- Reescalar o resultado pra espaçamento médio igual a 1 e mostrar que fica ρ_Wigner(s)=πs/2 e^(−πs²/4).
Passo 2
(b) Primeiro, achamos os autovalores de
H= .
A equação característica é
det(H−λI)=(a−λ)(c−λ)−b²=0 ⇒ λ²−(a+c)λ + (ac−b²)=0.
A diferença entre as raízes λ₊,λ₋ é
Δλ=λ₊−λ₋=√[(a+c)²−4(ac−b²)]
=√[a²+2ac+c²−4ac+4b²]
=√[(c−a)²+4b²].
H=
A equação característica é
det(H−λI)=(a−λ)(c−λ)−b²=0 ⇒ λ²−(a+c)λ + (ac−b²)=0.
A diferença entre as raízes λ₊,λ₋ é
Δλ=λ₊−λ₋=√[(a+c)²−4(ac−b²)]
=√[a²+2ac+c²−4ac+4b²]
=√[(c−a)²+4b²].
Passo 3
© Sabemos que a e c ∼ N(0,1),
Pₐ(u)=P_c(u)=1/√(2π) e^{−u²/2}.
O elemento b é a média de dois N(0,1), logo var(b)=½·1+½·1=1/1 ⇒ desvio=1/√2?
Cuidado: se definimos b=(b₁+b₂)/2, var(b)=(1/4)(1+1)=½, mas o enunciado diz que já tomamos a média e “ficou” σ_b=1/√2. Para simplificar, o resultado dado é
P_b(u)=1/√π e^{−u²}.
Pₐ(u)=P_c(u)=1/√(2π) e^{−u²/2}.
O elemento b é a média de dois N(0,1), logo var(b)=½·1+½·1=1/1 ⇒ desvio=1/√2?
Cuidado: se definimos b=(b₁+b₂)/2, var(b)=(1/4)(1+1)=½, mas o enunciado diz que já tomamos a média e “ficou” σ_b=1/√2. Para simplificar, o resultado dado é
P_b(u)=1/√π e^{−u²}.
Passo 4
(d) Agora a integral
P_Δ(Δλ)=∭ da db dc δ(Δλ−√[(c−a)²+4b²]) Pₐ(a)P_b(b)P_c©.
P_Δ(Δλ)=∭ da db dc δ(Δλ−√[(c−a)²+4b²]) Pₐ(a)P_b(b)P_c©.
- Faça x=(c+a)/2, y=(c−a)/2 ⇒ jacobiano = 1.
- A integral em x separa e dá 1 (pois as gaussiana em x normalizam), sobra
∬ dy db δ(Δλ−√[4y²+4b²]) · (1/2π) e^{−(a²+c²)/2} ⇒ depois de integrar em x fica e^{−2y²−b²}/π. - Mude (y,b) para coordenadas polares: r≥0, θ∈[0,2π), com
y = (r/2) sinθ, b = (r/2) cosθ ⇒ √[4y²+4b²]=r.
O jacobiano de (y,b)→(r,θ) dá r/2.
Logo
P_Δ(Δλ)=∫₀^{2π}dθ ∫₀^∞ dr (r/2) δ(Δλ−r) · (1/π) e^{−r²/2}
= (1/π) e^{−Δλ²/2} · (Δλ/2) · 2π
= Δλ e^{−Δλ²/2}.
Passo 5
(e) Por fim, reescalamos definindo s=Δλ/⟨Δλ⟩. Aqui ⟨Δλ⟩=∫₀^∞ Δλ·P_Δ(Δλ)dΔλ = √(π/2).
Então o jacobiano ds = dΔλ/⟨Δλ⟩ e
ρ_Wigner(s)=⟨Δλ⟩·P_Δ(s ⟨Δλ⟩)
=√(π/2)·[s √(π/2) e^{−(π/4)s²}]
= (π/2) s e^{−(π/4)s²}.
Então o jacobiano ds = dΔλ/⟨Δλ⟩ e
ρ_Wigner(s)=⟨Δλ⟩·P_Δ(s ⟨Δλ⟩)
=√(π/2)·[s √(π/2) e^{−(π/4)s²}]
= (π/2) s e^{−(π/4)s²}.
Resposta
ρ_Wigner(s) = (π/2) s e^{−(π/4)s²}, para s≥0.