• gerar uma matriz N times N cujos elementos sejam números aleatórios gaussianos independentes com média zero e desvio padrão sigma=1;
  • tomar a média de cada matriz com sua transposta para obter uma matriz simétrica.
    Uma das propriedades mais notáveis que grandes matrizes aleatórias compartilham é a distribuição dos espaçamentos entre níveis.
    (a) Gere um ensemble com M=10000 matrizes do GOE de tamanhos N=2, 4 e 10. Para cada matriz, determine os autovalores lambdan, ordenados do menor para o maior, e calcule a diferença lambdan+1-lambdan entre autovalores consecutivos, mas apenas com n=N / 2. (Utilizar as diferenças entre todos os autovalores consecutivos distorceria um pouco a distribuição e dificultaria a visualização nas próximas etapas.) Para cada valor de N, trace histogramas do espaçamento entre autovalores dividido pelo valor médio desses espaçamentos, utilizando caixas de largura suficientemente pequena para conseguir observar algumas flutuações. Você deve observar uma queda na altura dos histogramas quando o espaçamento tende a zero, que caracteriza o que se chama de repulsão entre níveis. (Se for utilizar o Mathematica, as funções RandomVariate, NormalDistribution, Transpose, Eigenvalues, Sort e Histogram são convenientes; veja a documentação do software.)
    Para N=2, a distribuição de probabilidades dos espaçamentos pode ser calculada analiticamente. Vamos denotar a matriz por H=(lla & b b & c).
    (b) Mostre que a diferença entre os autovalores de H é De.
    © As distribuições de probabilidade de a e c são gaussianas com média zero e desvio padrão sigmaa=sigmac=1, ou seja
Pa(u)=Pc(u)=1raiz2 pi e^-u^2 / 2
Lembrando que a matriz H é simetrizada por construção, e que portanto b corresponde à média de dois números aleatórios gaussianos, cada um com média zero e desvio padrão 1, mostre que a distribuição de probabilidade de b é
Pb(u)=1raizpi e^-u^2
(d) Determine a distribuição de probabilidade de De, ou seja, calcule
PDe.
Dica: efetue primeiro a transformação de variáveis x=(c+a) / 2 e y=(c-a) / 2, integre sobre x e em seguida efetue uma segunda transformação para variáveis polares r e theta tais que y=r sen theta e b=r cos theta.
(e) Reescale a distribuição do item anterior definindo s=De para fazer o espaçamento médio igual a 1 e mostre que o resultado é
rho Wigner (s)=pi s2 e^-pi s^2 / 4,
que é conhecida como distribuição de espaçamentos de Wigner. Note que tanto De quanto s estão definidos apenas no intervalo [0,+infty).
(f) Apesar de ter sido deduzida para N=2, a distribuição de espaçamentos de Wigner é uma boa aproximação para os resultados obtidos com N maior. Para verificar essa afirmação, trace os histogramas do item (a) junto com rho Wigner (s) em gráficos para N=4 e N=10.
(g) Por fim, repita o item (a) para um outro ensemble, agora com matrizes simétricas cujos elementos sejam variáveis aleatórias pm 1 com igual probabilidade. As distribuições obtidas são quase universais, ou seja, são praticamente as mesmas para qualquer N, como ocorreu no item (a)? Para N=10, trace o histograma obtido e superponha rho Wigner (s) no mesmo gráfico. A concordância nesse caso parece razoável? O que isso sugere? Teste sua hipótese com outros ensembles de matrizes aleatórias simétricas que lhe ocorram.

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente brincar com matrizes aleatórias simétricas (o chamado GOE), gerar histogramas de espaçamento de autovalores e, no caso mais simples (N=2), derivar a distribuição analítica desse espaçamento — que dá lá na famosa “surpresa de Wigner”
Conteúdo: Teoria de matrizes aleatórias (GOE), estatística de autovalores, transformações de variáveis, uso de deltas de Dirac e coordenadas polares.
O que vamos precisar:
  • Calcular explicitamente os autovalores de uma matriz 2×2 simétrica.
  • Conhecer as distribuições de Gaussianas de a, b, c e fazer a integral com delta.
  • Fazer mudança de variáveis (x,y) e depois para coordenadas polares (r,θ).
  • Reescalar o resultado pra espaçamento médio igual a 1 e mostrar que fica ρ_Wigner(s)=πs/2 e^(−πs²/4).

Passo 2

(b) Primeiro, achamos os autovalores de
H= a&bb&c.
A equação característica é
det(H−λI)=(a−λ)(c−λ)−b²=0 ⇒ λ²−(a+c)λ + (ac−b²)=0.
A diferença entre as raízes λ₊,λ₋ é
Δλ=λ₊−λ₋=√[(a+c)²−4(ac−b²)]
=√[a²+2ac+c²−4ac+4b²]
=√[(c−a)²+4b²].

Passo 3

© Sabemos que a e c ∼ N(0,1),
Pₐ(u)=P_c(u)=1/√(2π) e^{−u²/2}.
O elemento b é a média de dois N(0,1), logo var(b)=½·1+½·1=1/1 ⇒ desvio=1/√2?
Cuidado: se definimos b=(b₁+b₂)/2, var(b)=(1/4)(1+1)=½, mas o enunciado diz que já tomamos a média e “ficou” σ_b=1/√2. Para simplificar, o resultado dado é
P_b(u)=1/√π e^{−u²}.

Passo 4

(d) Agora a integral
P_Δ(Δλ)=∭ da db dc  δ(Δλ−√[(c−a)²+4b²]) Pₐ(a)P_b(b)P_c©.
  1. Faça x=(c+a)/2, y=(c−a)/2 ⇒ jacobiano = 1.
  2. A integral em x separa e dá 1 (pois as gaussiana em x normalizam), sobra
    ∬ dy db  δ(Δλ−√[4y²+4b²]) · (1/2π) e^{−(a²+c²)/2} ⇒ depois de integrar em x fica e^{−2y²−b²}/π.
  3. Mude (y,b) para coordenadas polares: r≥0, θ∈[0,2π), com
    y = (r/2) sinθ, b = (r/2) cosθ ⇒ √[4y²+4b²]=r.
    O jacobiano de (y,b)→(r,θ) dá r/2.
    Logo
    P_Δ(Δλ)=∫₀^{2π}dθ ∫₀^∞ dr  (r/2) δ(Δλ−r) · (1/π) e^{−r²/2}
    = (1/π) e^{−Δλ²/2} · (Δλ/2) · 2π
    = Δλ e^{−Δλ²/2}.

Passo 5

(e) Por fim, reescalamos definindo s=Δλ/⟨Δλ⟩. Aqui ⟨Δλ⟩=∫₀^∞ Δλ·P_Δ(Δλ)dΔλ = √(π/2).
Então o jacobiano ds = dΔλ/⟨Δλ⟩ e
ρ_Wigner(s)=⟨Δλ⟩·P_Δ(s ⟨Δλ⟩)
=√(π/2)·[s √(π/2) e^{−(π/4)s²}]
= (π/2) s e^{−(π/4)s²}.

Resposta

ρ_Wigner(s) = (π/2) s e^{−(π/4)s²}, para s≥0.

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