Numa estrada existem dois telefones instalados um no km 10 e outro no km 50. Entre eles serão colocados mais 9 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determinar em que marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones.
Passo 1
O enunciado dá duas informações claras e pede uma coisa específica.
-
Dados fornecidos:
- Há um telefone no marco quilométrico
. - Há outro telefone no marco quilométrico
. - Serão colocados mais
telefones entre esses dois, de forma que a distância entre dois telefones consecutivos seja sempre a mesma.
- Há um telefone no marco quilométrico
-
O que se pede:
- Determinar em que marcos quilométricos deverão ficar os
novos telefones (isto é, listar os quilômetros onde eles serão instalados).
- Determinar em que marcos quilométricos deverão ficar os
Passo 2
Vamos modelar a situação com uma progressão aritmética (PA), que é o jeito natural quando vários pontos estão igualmente espaçados.
- Pense nos telefones como termos de uma sequência: o primeiro já existente é o primeiro termo e o último existente é o último termo.
- Como serão
telefones adicionais entre os dois existentes, o número total de telefones passa a ser (os já existentes mais os novos). Portanto a sequência terá termos. - Denotar:
-
= posição do primeiro telefone = . -
= posição do décimo primeiro telefone = . -
= razão da PA (a distância constante entre telefones consecutivos).
-
- Fórmula geral da PA:
onde é o -ésimo termo, é o primeiro termo e é a razão.
Passo 3
Usar a fórmula para o termo
para encontrar
.
- Aplicando a fórmula com
: - Substituindo os valores conhecidos
e : - Isolando
: - Interpretação: a distância entre telefones consecutivos é de
quilômetros.
Passo 4
Agora que sabemos
, podemos listar as posições de todos os
telefones usando a fórmula ou somando
sucessivamente a partir de
.
- Usando a soma repetida (mais intuitivo na prova sem calculadora):
-
Passo 5
Identificar quais desses termos correspondem aos
novos telefones.
- Os telefones já existentes ficam em
e , ou seja, em e . - Os
novos são os termos intermediários até . - Assim as posições são:
Passo 6
Checagem rápida para ter confiança na resposta:
- A diferença entre termos consecutivos é sempre
: , , etc. - O primeiro dos novos é
e o último dos novos é ; a diferença total entre e é , que dividido por intervalos dá em cada intervalo — tudo consistente.
Resposta
km
km
km
km
km
km
km
km
km
km
km
km
km
km
km
km
km