Numa estrada existem dois telefones instalados um no km 10 e outro no km 50. Entre eles serão colocados mais 9 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determinar em que marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones.

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras e pede uma coisa específica.
  • Dados fornecidos:
    • Há um telefone no marco quilométrico 10.
    • Há outro telefone no marco quilométrico 50.
    • Serão colocados mais 9 telefones entre esses dois, de forma que a distância entre dois telefones consecutivos seja sempre a mesma.
  • O que se pede:
    • Determinar em que marcos quilométricos deverão ficar os 9 novos telefones (isto é, listar os quilômetros onde eles serão instalados).

Passo 2

Vamos modelar a situação com uma progressão aritmética (PA), que é o jeito natural quando vários pontos estão igualmente espaçados.
  • Pense nos telefones como termos de uma sequência: o primeiro já existente é o primeiro termo e o último existente é o último termo.
  • Como serão 9 telefones adicionais entre os dois existentes, o número total de telefones passa a ser 11 (os 2 já existentes mais os 9 novos). Portanto a sequência terá 11 termos.
  • Denotar:
    • a_1 = posição do primeiro telefone = 10.
    • a_{11} = posição do décimo primeiro telefone = 50.
    • d = razão da PA (a distância constante entre telefones consecutivos).
  • Fórmula geral da PA: a_n = a_1 + (n-1)d,onde a_n é o n-ésimo termo, a_1 é o primeiro termo e d é a razão.

Passo 3

Usar a fórmula para o termo a_{11} para encontrar d.
  • Aplicando a fórmula com n=11: a_{11} = a_1 + (11-1)d.
  • Substituindo os valores conhecidos a_{11}=50 e a_1=10: 50 = 10 + 10d.
  • Isolando d: 50 - 10 = 10d \quad\Rightarrow\quad 40 = 10d \quad\Rightarrow\quad d = \frac{40}{10} = 4.
  • Interpretação: a distância entre telefones consecutivos é de 4 quilômetros.

Passo 4

Agora que sabemos d=4, podemos listar as posições de todos os 11 telefones usando a fórmula ou somando 4 sucessivamente a partir de 10.
  • Usando a soma repetida (mais intuitivo na prova sem calculadora):
    • a_1 = 10
    • a_2 = a_1 + d = 10 + 4 = 14
    • a_3 = a_2 + d = 14 + 4 = 18
    • a_4 = 18 + 4 = 22
    • a_5 = 22 + 4 = 26
    • a_6 = 26 + 4 = 30
    • a_7 = 30 + 4 = 34
    • a_8 = 34 + 4 = 38
    • a_9 = 38 + 4 = 42
    • a_{10} = 42 + 4 = 46
    • a_{11} = 46 + 4 = 50

Passo 5

Identificar quais desses termos correspondem aos 9 novos telefones.
  • Os telefones já existentes ficam em a_1 e a_{11}, ou seja, em 10 e 50.
  • Os 9 novos são os termos intermediários a_2 até a_{10}.
  • Assim as posições são: a_2=14,\\ a_3=18,\\ a_4=22,\\ a_5=26,\\ a_6=30,\\ a_7=34,\\ a_8=38,\\ a_9=42,\\ a_{10}=46.

Passo 6

Checagem rápida para ter confiança na resposta:
  • A diferença entre termos consecutivos é sempre 4: 18-14=4, 22-18=4, etc.
  • O primeiro dos novos é 14 e o último dos novos é 46; a diferença total entre 10 e 50 é 40, que dividido por 10 intervalos dá 4 em cada intervalo — tudo consistente.

Resposta

km 14
km 18
km 22
km 26
km 30
km 34
km 38
km 42
km 46

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