Quanto são os números naturais múltiplos de 3, e que têm dois algarismos?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos são os números naturais múltiplos de 3, e que têm dois algarismos?”
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vamos usar:
  • Os números naturais com dois algarismos são todos os inteiros de 10 até 99 inclusive.
  • Um número é múltiplo de 3 quando ele pode ser escrito como 3k para algum inteiro k. Exemplos de múltiplos de 3: 12,\,15,\,18, etc.

Passo 2

Vamos achar o primeiro e o último múltiplo de 3 dentro do intervalo de dois algarismos [10,99].
  • Primeiro múltiplo de 3 maior ou igual a 10: dividir 10 por 3.
    10 = 3\cdot 3 + 1,
    ou seja, 3\cdot 3=9 fica abaixo de 10 e sobra 1. O próximo múltiplo é 3\cdot 4 = 12. Logo o primeiro múltiplo de 3 com dois algarismos é 12.
  • Último múltiplo de 3 menor ou igual a 99: verificar 99.
    99 = 3\cdot 33,
    portanto 99 é múltiplo de 3 e é o maior número de dois algarismos. Logo o último múltiplo de 3 com dois algarismos é 99.

Passo 3

Os múltiplos de 3 entre 12 e 99 formam uma progressão aritmética com primeiro termo a_1=12, razão d=3 e último termo a_n=99. Para contar quantos termos tem uma progressão aritmética usamos a fórmula:
n=\frac{a_n-a_1}{d}+1,
onde n é o número de termos, a_1 é o primeiro termo, a_n é o último termo e d é a diferença entre termos consecutivos.
Aplicando aqui:
n=\frac{99-12}{3}+1=\frac{87}{3}+1=29+1=30.
(Comentário rápido: outro jeito — equivalente — é contar quantos múltiplos de 3 existem até 99 e subtrair quantos existem até 9: \lfloor 99/3\rfloor-\lfloor 9/3\rfloor=33-3=30.)

Passo 4

Interpretação final e confirmação gentil: os múltiplos de 3 de dois algarismos começam em 12 e terminam em 99, crescem de 3 em 3, e pelo cálculo acima há 30 desses números. Se quiser, dá para listar alguns para se certificar: 12,\,15,\,18,\ldots,\,96,\,99.

Resposta

30

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