Quanto são os números naturais múltiplos de 3, e que têm dois algarismos?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos são os números naturais múltiplos de 3, e que têm dois algarismos?”
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vamos usar:
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vamos usar:
- Os números naturais com dois algarismos são todos os inteiros de
até inclusive. - Um número é múltiplo de
quando ele pode ser escrito como para algum inteiro . Exemplos de múltiplos de : etc.
Passo 2
Vamos achar o primeiro e o último múltiplo de
dentro do intervalo de dois algarismos
.
-
Primeiro múltiplo de
maior ou igual a : dividir por . ou seja,fica abaixo de e sobra . O próximo múltiplo é . Logo o primeiro múltiplo de com dois algarismos é . -
Último múltiplo de
menor ou igual a : verificar . portantoé múltiplo de e é o maior número de dois algarismos. Logo o último múltiplo de com dois algarismos é .
Passo 3
Os múltiplos de
entre
e
formam uma progressão aritmética com primeiro termo
, razão
e último termo
. Para contar quantos termos tem uma progressão aritmética usamos a fórmula:
onde
é o número de termos,
é o primeiro termo,
é o último termo e
é a diferença entre termos consecutivos.
Aplicando aqui:
(Comentário rápido: outro jeito — equivalente — é contar quantos múltiplos de
existem até
e subtrair quantos existem até
:
.)
Passo 4
Interpretação final e confirmação gentil: os múltiplos de
de dois algarismos começam em
e terminam em
, crescem de
em
, e pelo cálculo acima há
desses números. Se quiser, dá para listar alguns para se certificar:
.