O estresse relacionado ao trabalho representa uma importante preocupação de um grande número de pessoas que passam a ocupar posições gerenciais. É estimado que 80 \% dos gerentes de todas as empresas sejam vítimas do estresse relacionado ao trabalho.
Encontre a probabilidade de que, em uma amostra composta por 200 gerentes de empresas, entre 164 e 172 deles venham a ser vítimas do estresse relacionado ao trabalho.

Passo 1

O enunciado diz que a variável X representa o número de gerentes vítimas de estresse, numa amostra de n=200, com probabilidade de sucesso p=0,8. Assim, X segue distribuição binomial \mathrm{Bin}(200,0,8). Como n é grande, vamos usar a aproximação pela normal com correção de continuidade.

Passo 2

Pela teoria da aproximação normal à binomial, a média e a variância de X são
\mu = np = 200 \cdot 0,8 = 160,
\sigma^2 = np(1-p) = 200 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 32,
logo o desvio-padrão é \sigma = \sqrt{32}\approx5,657.

Passo 3

Para calcular
P(164 \le X \le 172)
fazemos a correção de continuidade, trocando em X os limites por 163,5 e 172,5. Definimos a variável padronizada
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1).

Passo 4

Convertendo os limites, temos
z_1 = \frac{163,5 - 160}{5,657} \approx \frac{3,5}{5,657} \approx 0,619,
z_2 = \frac{172,5 - 160}{5,657} \approx \frac{12,5}{5,657} \approx 2,210.

Passo 5

Usando a tabela da normal padrão,
\Phi(2,21)\approx0,9866, \quad \Phi(0,62)\approx0,7324,
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P(164 \le X \le 172) \approx \Phi(2,21) - \Phi(0,62) =0,9866 - 0,7324 = 0,2542.

Resposta

A probabilidade aproximada é 0,2542 (ou cerca de 25{,}42\%).

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