O estresse relacionado ao trabalho representa uma importante preocupação de um grande número de pessoas que passam a ocupar posições gerenciais. É estimado que 80 \% dos gerentes de todas as empresas sejam vítimas do estresse relacionado ao trabalho.
Qual é a probabilidade de que, em uma amostra composta por 200 gerentes de empresas, 165 deles, ou menos, venham a ser vítimas do estresse relacionado ao trabalho?

Passo 1

O enunciado diz que a proporção verdadeira de gerentes vítimas de estresse é p=0,8 e queremos, numa amostra de tamanho n=200, a probabilidade de ocorrer no máximo 165 casos. O conteúdo é distribuição binomial e usamos a aproximação normal (Teorema do Limite Central) para calcular essa probabilidade.

Passo 2

Definimos X como o número de gerentes com estresse na amostra. Então
X \sim \mathrm{Binomial}(n=200,\;p=0,8).
Calculamos a média e o desvio-padrão de X:
\mu = n p = 200 \times 0,8 = 160,
\sigma = \sqrt{n p (1-p)} = \sqrt{200 \times 0,8 \times 0,2} = \sqrt{32} \approx 5,657.

Passo 3

Para usar a aproximação normal, aplicamos correção de continuidade. Queremos
P(X \le 165) \approx P\bigl(X_{\mathrm{normal}} \le 165 + 0,5\bigr),
onde X_{\mathrm{normal}}\sim N(\mu,\sigma^2).

Passo 4

Calculamos o valor padronizado:
Z = \frac{165{,}5 - 160}{5{,}657} \approx \frac{5{,}5}{5{,}657} \approx 0{,}972.
Assim,
P(X\le165)\approx P\bigl(Z\le0{,}972\bigr).

Passo 5

Consultando a tabela da distribuição normal padrão,
P(Z \le 0{,}972)\approx 0{,}834.

Resposta

A probabilidade de que 165 ou menos gerentes sofram de estresse é aproximadamente 0{,}834 (ou 83{,}4\%).

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