Maria sabe que o tempo necessário para que ela se desloque de casa para o trabalho é distribuído de forma aproximadamente normal, com uma média aritmética de 45 minutos e um desvio-padrão de 3 minutos. A que horas ela deve sair de casa na parte da manhã, de maneira que esteja 95 \% segura de chegar ao trabalho às 9 horas da manhã?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de deslocamento T de casa ao trabalho é aproximadamente normal com média \mu=45 min e desvio-padrão \sigma=3 min. Queremos que ela tenha 95\% de chance de chegar até as 9 h. Ou seja, buscamos o menor tempo t tal que
\Pr(T \le t) = 0,95.

Passo 2

Para a normal padrão, o quantil de nível 0,95 satisfaz
\Phi(z_{0,95}) = 0,95
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão. Sabe-se que
z_{0,95} = \Phi^{-1}(0,95) \approx 1,645.
Como T\sim N(\mu,\sigma), o correspondente tempo limite é
t = \mu + z_{0,95}\,\sigma.

Passo 3

Substituindo \mu=45, \sigma=3 e z_{0,95}=1,645, temos
t = 45 + 1,645 \times 3 = 45 + 4,935 = 49,935\text{ minutos}
ou seja, aproximadamente 50 minutos.

Passo 4

Para garantir essa probabilidade, ela deve sair de casa t minutos antes das 9 h. Logo, o horário de saída é
9{:}00 - 49,935\text{ min} \approx 8{:}10.

Resposta

Ela deve sair por volta das 8 h 10 min da manhã.

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