O estrôncio noventa ( { }^{90} \mathrm{Sr} ) é uma substância radioativa com meia-vida de 28, 1 anos e é particularmente perigosa por se incorporar na estrutura óssea substituindo o cálcio e por nāo ser eliminada por processos metabólicos comuns. Lembrando que decaimento radioativo segue um processo cinético de primeira ordem, suponha que, em um acidente radioativo, 1,0 \times 10^{-6} \mathrm{~g} de { }^{90} \mathrm{Sr} seja absorvida por um recém-nascido. Supondo que este indivíduo nunca mais tivesse contato com estrôncio radioativo e que os efeitos deste nāo tenham sido letais, pede-se:
I) Estimar a quantidade de { }^{90} \mathrm{Sr} presente no indivíduo após 18 anos.
II) Estimar a idade deste indivíduo.quando a massa de { }^{90} \mathrm{Sr} for igual a um décimo da massa originalmente absorvida desta substância.

Passo 1

O enunciado trata do decaimento radioativo de primeira ordem do {}^{90}\mathrm{Sr} cuja meia-vida é de 28,1 anos. Foi absorvida inicialmente uma massa de
m_0 = 1,0\times10^{-6}\,\mathrm{g}
e não há outra via de eliminação além do decaimento. Pede-se:
I) a massa remanescente após 18 anos;
II) o tempo necessário para que a massa se reduza a um décimo de m_0.

Passo 2

Para reação de primeira ordem, a constante de decaimento k relaciona-se à meia-vida t_{1/2} por
k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Substituindo t_{1/2}=28,1 anos,
k = \frac{\ln 2}{28,1}\approx \frac{0,6931}{28,1}\approx0,02466\;\text{ano}^{-1}.

Passo 3

A massa em função do tempo é
m(t) = m_0\,e^{-k\,t}.
Para t=18 anos,
m(18)=1,0\times10^{-6}\,e^{-0,02466\cdot18} =1,0\times10^{-6}\,e^{-0,4440} \approx1,0\times10^{-6}\times0,641 \approx6,4\times10^{-7}\,\mathrm{g}.

Passo 4

Queremos m(t)=m_0/10. Logo,
\frac{m_0}{10}=m_0\,e^{-k\,t} \quad\Longrightarrow\quad e^{-k\,t}=\frac{1}{10} \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\ln 10}{k}.
Como \ln10\approx2,3026 e k\approx0,02466,
t\approx\frac{2,3026}{0,02466}\approx93,3\;\text{anos}.

Resposta

I) m(18)\approx6,4\times10^{-7} g
II) t\approx93,3 anos

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