Foi determinado que a reação de decomposição do pentóxido de dinitrogènio, em fase gasosa, formando oxigênio e dióxido de nitrogênio, possui \underline{k}=\frac{2,05 \times 10^{13}}{s}-\frac{24650 / \mathrm{mol}^{-1}}{R T}.
  1. Determinar o tempo de meia-vida desta reação a -25^{\circ} \mathrm{C}.
    II) Partindo-se de uma concentração de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5} de 0,2 \mathrm{mmol/L}, determinar o tempo necessário para a concentração deste gás cair para um terço da sua concentração inicial a -25^{\circ} \mathrm{C}.
    III) Partindo-se de uma concentração de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5} de 1,2 \mathrm{mmol} \mathrm{L}^{-1}, determinar o tempo necessário para a concentração deste gás cair para um terço da sua concentração inicial a -25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá a decomposição gasosa de \mathrm{N}_2\mathrm{O}_5 com cinética de primeira ordem e constante de velocidade
k = 2{,}05\times10^{13}\,\text{s}^{-1}\exp\!\Bigl(-\tfrac{24650}{R\,T}\Bigr).
Para usar E_a em calorias, tomamos R=1{,}987\,\mathrm{cal/(mol\cdot K)} e a temperatura T=-25^\circ\mathrm{C}=248{,}15\,\mathrm{K}. Vamos então calcular k, depois a meia--vida e o tempo para chegar a um terço de [A]_0.

Passo 2

Calcular k a T=248{,}15\,\mathrm{K}:
-\frac{E_a}{R\,T}=-\frac{24650}{1{,}987\times248{,}15}\approx-49{,}97,
k=2{,}05\times10^{13}\exp(-49{,}97)\approx2{,}05\times10^{13}\times1{,}93\times10^{-22}\approx3{,}95\times10^{-9}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 3

A meia--vida de primeira ordem é
t_{1/2}=\frac{\ln2}{k},
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t_{1/2}=\frac{0{,}693}{3{,}95\times10^{-9}}\approx1{,}75\times10^{8}\,\mathrm{s}\approx5{,}56\text{ anos}.

Passo 4

Para decair a um terço da concentração inicial usamos
[A]=[A]_0e^{-kt} \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{1}{k}\ln\frac{[A]_0}{[A]}=\frac{\ln3}{k}.
Como \ln3\approx1{,}099,
t=\frac{1{,}099}{3{,}95\times10^{-9}}\approx2{,}78\times10^{8}\,\mathrm{s}\approx8{,}82\text{ anos}.
Esse resultado independe de [A]_0.

Resposta

I) t_{1/2}\approx1{,}75\times10^{8}\,\mathrm{s} ( \approx5{,}56 anos)
II) t\approx2{,}78\times10^{8}\,\mathrm{s} ( \approx8{,}82 anos)
III) t\approx2{,}78\times10^{8}\,\mathrm{s} ( \approx8{,}82 anos)

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