Uma estrutura cilíndrica dielétrica muito longa (na qual o efeito das bordas é desprezível) de raio a, com densidade volumétrica uniforme de cargas igual a +\rho_{v} é concêntrica a uma camada cilíndrica condutora que apresenta carga total nula, de raio interno b(b>a) e raio externo c. Calcule o campo elétrico nas regiões:
a) r<a
b) a<r<b
c) b<r<c
d) r>c

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (lista clara):
  • Há um cilindro homogêneo e muito longo (bordas desprezíveis) de raio a com densidade volumétrica de carga uniforme +\rho_{v}.
  • Esse cilindro é concêntrico a uma casca cilíndrica condutora (coaxial) com raio interno b e raio externo c, onde b>a.
  • A casca condutora tem carga total nula.
  • O enunciado pede o campo elétrico \mathbf{E} nas quatro regiões:
    a) r<a (dentro do cilindro carregado),
    b) a<r<b (no espaço entre o dielétrico carregado e a casca condutora),
    c) b<r<c (dentro do material do condutor),
    d) r>c (fora da casca).
  • Informação útil a usar: simetria cilíndrica e conservação de carga (quando necessário).

Passo 2

Ideia-chave e escolha da superfície de Gauss (por que e como):
  • Pelo enunciado há simetria cilíndrica infinita: o campo elétrico deve apontar radialmente (para fora, por causa de cargas positivas) e depender só da distância radial r.
  • Por isso escolhemos uma superfície de Gauss cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L. Essa superfície tem área lateral A_{\text{lat}}=2\pi r L. As tampas não contribuem (campo perpendicular às tampas é zero por simetria).
  • A Lei de Gauss (em forma integral) é a ferramenta mais direta:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
  • Com a escolha da superfície, o lado esquerdo vira E(r)\,2\pi r L. Assim teremos a fórmula prática
E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}}{2\pi\varepsilon_0\,r L},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total contida dentro do cilindro de raio r e comprimento L.

Passo 3

Como calcular Q_{\text{enc}} para um volume com densidade volumétrica uniforme:
  • Se uma região de volume contém densidade \rho_{v} e ocupamos um cilindro de raio R e comprimento L, a carga contida é
Q=\rho_{v}\times (\text{volume})=\rho_{v}\times (\pi R^{2} L).
  • Aplicaremos isso substituindo R=r quando a superfície de Gauss estiver dentro do material carregado ( r<a), ou R=a quando queremos a carga total do cilindro carregado (para r>a).

Passo 4

Região (a): cálculo para r<a
  • Aqui a superfície de Gauss corta apenas material com densidade \rho_{v} até raio r. Então
Q_{\text{enc}}=\rho_{v}\,\pi r^{2} L.
  • Substituindo na fórmula de Gauss:
E(r)=\frac{\rho_{v}\,\pi r^{2} L}{2\pi\varepsilon_0\,r L}=\frac{\rho_{v}\,r}{2\varepsilon_0}.
  • Direção: radial para fora. Em forma vetorial:
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho_{v}\,r}{2\varepsilon_0}\,\hat{r},\qquad (r<a).
  • Observação didática: o campo cresce linearmente com r dentro do cilindro carregado, porque cargas adicionais vão sendo incluídas em Q_{\text{enc}} com área \propto r^{2}, enquanto a área de Gauss cresce só \propto r.

Passo 5

Região (b): a<r<b — superfície de Gauss fora do cilindro carregado mas antes do condutor
  • Agora a superfície de Gauss engloba toda a carga volumétrica do cilindro de raio a. Essa carga total (dentro do comprimento L) é
Q_{\text{diel}}=\rho_{v}\,\pi a^{2} L.
  • Não há outra carga entre a e r (a casca condutora começa em b>r), então Q_{\text{enc}}=Q_{\text{diel}}.
  • Aplicando Gauss:
E(r)=\frac{\rho_{v}\,\pi a^{2} L}{2\pi\varepsilon_0\,r L}=\frac{\rho_{v}\,a^{2}}{2\varepsilon_0\,r}.
  • Vetorialmente:
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho_{v}\,a^{2}}{2\varepsilon_0\,r}\,\hat{r},\qquad (a<r<b).
  • Observação: para r>a até o condutor o campo decai como 1/r, como o de uma linha com carga por unidade de comprimento \lambda=\rho_{v}\pi a^{2}.

Passo 6

Comportamento do condutor e cargas induzidas (passagem importante para entender (c) e (d))
  • Em equilíbrio eletrostático o campo elétrico no interior do material condutor é zero. Logo, para qualquer r tal que b<r<c temos \mathbf{E}(r)=\mathbf{0}.
  • Isso também determina as cargas induzidas nas superfícies interna e externa do condutor:
    • Considere uma superfície de Gauss de raio r com b<r<c. Pelo fato de E=0 nessa região, a carga total dentro dessa superfície é zero.
    • Como a carga do cilindro dielétrico é Q_{\text{diel}}=\rho_{v}\pi a^{2}L, a superfície interna do condutor (em r=b) deve portar carga induzida
    Q_{\text{inner}}=-\rho_{v}\,\pi a^{2} L,de modo que a soma das cargas internas seja zero.
    • Como o condutor tem carga total nula, a superfície externa (em r=c) terá a carga
    Q_{\text{outer}}=+\rho_{v}\,\pi a^{2} L,para que Q_{\text{inner}}+Q_{\text{outer}}=0.
  • Essas cargas de superfície explicam por que o campo dentro do material condutor é nulo e por que fora dele o campo é igual ao do cilindro carregado (ver próximo passo).

Passo 7

Região (c): b<r<c (dentro do condutor)
  • Como explicado, em equilíbrio eletrostático o campo no condutor é
\mathbf{E}(r)=\mathbf{0},\qquad (b<r<c).

Passo 8

Região (d): r>c (fora da casca)
  • Para r>c a superfície de Gauss engloba a carga do cilindro dielétrico mais toda a carga do condutor. Mas o condutor tem carga total nula (dado do enunciado), então a carga total interior é apenas Q_{\text{diel}}=\rho_{v}\pi a^{2}L.
  • Usando Gauss:
E(r)=\frac{\rho_{v}\,\pi a^{2} L}{2\pi\varepsilon_0\,r L}=\frac{\rho_{v}\,a^{2}}{2\varepsilon_0\,r}.
  • Vetorialmente:
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho_{v}\,a^{2}}{2\varepsilon_0\,r}\,\hat{r},\qquad (r>c).
  • Observação final: fora da casca a distribuição se comporta como uma linha (por unidade de comprimento) com carga \lambda=\rho_{v}\pi a^{2}, produzindo o decaimento 1/r. Note que há uma descontinuidade do campo atravessando a superfície externa r=c, compatível com a existência da densidade superficial de carga \sigma_{\text{outer}}=Q_{\text{outer}}/(2\pi c L).

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{\rho_{v}\,r}{2\varepsilon_0}\,\hat{r}\quad (r<a)\n
\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{\rho_{v}\,a^{2}}{2\varepsilon_0\,r}\,\hat{r}\quad (a<r<b)\n
\displaystyle \mathbf{E}(r)=\mathbf{0}\quad (b<r<c)\n
\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{\rho_{v}\,a^{2}}{2\varepsilon_0\,r}\,\hat{r}\quad (r>c)

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