Uma estrutura cilíndrica dielétrica muito longa (na qual o efeito das bordas é desprezível) de raio
, com densidade volumétrica uniforme de cargas igual a
é concêntrica a uma camada cilíndrica condutora que apresenta carga total nula, de raio interno
e raio externo
. Calcule o campo elétrico nas regiões:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (lista clara):
- Há um cilindro homogêneo e muito longo (bordas desprezíveis) de raio
com densidade volumétrica de carga uniforme . - Esse cilindro é concêntrico a uma casca cilíndrica condutora (coaxial) com raio interno
e raio externo , onde . - A casca condutora tem carga total nula.
- O enunciado pede o campo elétrico
nas quatro regiões:
a)(dentro do cilindro carregado),
b)(no espaço entre o dielétrico carregado e a casca condutora),
c)(dentro do material do condutor),
d)(fora da casca). - Informação útil a usar: simetria cilíndrica e conservação de carga (quando necessário).
Passo 2
Ideia-chave e escolha da superfície de Gauss (por que e como):
- Pelo enunciado há simetria cilíndrica infinita: o campo elétrico deve apontar radialmente (para fora, por causa de cargas positivas) e depender só da distância radial
. - Por isso escolhemos uma superfície de Gauss cilíndrica coaxial de raio
e comprimento . Essa superfície tem área lateral . As tampas não contribuem (campo perpendicular às tampas é zero por simetria). - A Lei de Gauss (em forma integral) é a ferramenta mais direta:
- Com a escolha da superfície, o lado esquerdo vira
. Assim teremos a fórmula prática
onde
é a carga total contida dentro do cilindro de raio
e comprimento
.
Passo 3
Como calcular
para um volume com densidade volumétrica uniforme:
- Se uma região de volume contém densidade
e ocupamos um cilindro de raio e comprimento , a carga contida é
- Aplicaremos isso substituindo
quando a superfície de Gauss estiver dentro do material carregado ( ), ou quando queremos a carga total do cilindro carregado (para ).
Passo 4
Região (a): cálculo para
- Aqui a superfície de Gauss corta apenas material com densidade
até raio . Então
- Substituindo na fórmula de Gauss:
- Direção: radial para fora. Em forma vetorial:
- Observação didática: o campo cresce linearmente com
dentro do cilindro carregado, porque cargas adicionais vão sendo incluídas em com área , enquanto a área de Gauss cresce só .
Passo 5
Região (b):
— superfície de Gauss fora do cilindro carregado mas antes do condutor
- Agora a superfície de Gauss engloba toda a carga volumétrica do cilindro de raio
. Essa carga total (dentro do comprimento ) é
- Não há outra carga entre
e (a casca condutora começa em ), então . - Aplicando Gauss:
- Vetorialmente:
- Observação: para
até o condutor o campo decai como , como o de uma linha com carga por unidade de comprimento .
Passo 6
Comportamento do condutor e cargas induzidas (passagem importante para entender (c) e (d))
- Em equilíbrio eletrostático o campo elétrico no interior do material condutor é zero. Logo, para qualquer
tal que temos . - Isso também determina as cargas induzidas nas superfícies interna e externa do condutor:
- Considere uma superfície de Gauss de raio
com . Pelo fato de nessa região, a carga total dentro dessa superfície é zero. - Como a carga do cilindro dielétrico é
, a superfície interna do condutor (em ) deve portar carga induzida
de modo que a soma das cargas internas seja zero. - Como o condutor tem carga total nula, a superfície externa (em
) terá a carga
para que . - Considere uma superfície de Gauss de raio
- Essas cargas de superfície explicam por que o campo dentro do material condutor é nulo e por que fora dele o campo é igual ao do cilindro carregado (ver próximo passo).
Passo 7
Região (c):
(dentro do condutor)
- Como explicado, em equilíbrio eletrostático o campo no condutor é
Passo 8
Região (d):
(fora da casca)
- Para
a superfície de Gauss engloba a carga do cilindro dielétrico mais toda a carga do condutor. Mas o condutor tem carga total nula (dado do enunciado), então a carga total interior é apenas . - Usando Gauss:
- Vetorialmente:
- Observação final: fora da casca a distribuição se comporta como uma linha (por unidade de comprimento) com carga
, produzindo o decaimento . Note que há uma descontinuidade do campo atravessando a superfície externa , compatível com a existência da densidade superficial de carga .