Um laser de potência P=5,0 \mathrm{~mW} e comprimento de onda \lambda=500 \mathrm{~nm} incide sobre uma fotocélula cuja função trabalho é \varphi=1,8 \mathrm{eV}. A eficiência quântica da emissão fotoelétrica é de apenas 20% (ou seja, apenas 20 \% dos fótons incidentes resultam na emissão de um elétron). Responda aos itens a seguir:
a. Calcule a energia de cada fóton em eV.
b. Determine o número de fótons incidentes por segundo.
c. Estime a fotocorrente máxima gerada.
d. Comente sobre a eficiência quântica desse processo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que nos foi informado e o que é pedido):
  • Potência do laser: P=5{,}0\\ \mathrm{mW}.
  • Comprimento de onda: \lambda=500\\ \mathrm{nm}.
  • Função trabalho da fotocélula: \varphi=1{,}8\\ \mathrm{eV}.
  • Eficiência quântica: \eta=20\% (isto é, 0{,}20 na forma decimal).
    O enunciado pede:
    a. Calcular a energia de cada fóton (em \mathrm{eV}).
    b. Determinar o número de fótons incidentes por segundo.
    c. Estimar a fotocorrente máxima gerada.
    d. Comentar sobre a eficiência quântica.

Passo 2

Teoria e fórmula útil para (a). A energia de um fóton está dada por
E=\frac{hc}{\lambda},
onde:
  • h é a constante de Planck ( h=6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}),
  • c é a velocidade da luz no vácuo ( c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}),
  • \lambda é o comprimento de onda em metros.
    Para obter E em \mathrm{eV} existe uma forma prática: \,hc\approx1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}\,. Assim
E\;(\text{em eV})=\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{\lambda\\ (\mathrm{nm})}.
Vou usar essa forma prática porque evita conversões longas e é muito comum em provas.

Passo 3

Cálculo do item (a) — energia por fóton.
E=\frac{1240}{500} = 2{,}48\\ \mathrm{eV}.
Se for preciso o valor em joules, converte-se usando 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
E=2{,}48\times1{,}602\times10^{-19}=3{,}97\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Teoria para (b) e (c). A potência P é energia por segundo (energia entregada ao alvo por unidade de tempo). O número de fótons incidentes por segundo N é
N=\frac{P}{E_{\text{fóton}}}ó
onde E_{\text{fóton}}ó deve estar em joules para que as unidades batam ( \mathrm{J/s} dividido por \mathrm{J} \mathrm{s^{-1}}).
Para a fotocorrente máxima: cada elétron tem carga elementar e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}. Se apenas uma fração \eta dos fótons produz elétron correspondente que é coletado, a corrente máxima é
I_{\max}=e\cdot(\eta N).

Passo 5

Cálculo do item (b) — número de fótons por segundo.
Primeiro escrevo a potência em unidades SI:
P=5{,}0\\ \mathrm{mW}=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{W}=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{J/s}.
Usando E_{\text{fóton}}=3{,}97\times10^{-19}\\ \mathrm{J}ó,
N=\frac{5{,}0\times10^{-3}}{3{,}97\times10^{-19}} \approx 1{,}26\times10^{16}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 6

Cálculo do item (c) — fotocorrente máxima.
Número de elétrons emitidos por segundo (com \eta=0{,}20):
N_{\text{el}}=\eta N=0{,}20\times1{,}26\times10^{16}=2{,}52\times10^{15}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Corrente máxima (cada elétron tem carga e):
I_{\max}=e\,N_{\text{el}}=(1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C})\times(2{,}52\times10^{15}\\ \mathrm{s^{-1}})\approx4{,}03\times10^{-4}\\ \mathrm{A}.
Em miliampères isso é
I_{\max}\approx0{,}403\\ \mathrm{mA}.
Observação prática: este é o valor máximo assumindo que todo elétron emitido é coletado no circuito (sem perdas adicionais por geometria, campos, recombinação, etc.).

Passo 7

Item (d) — comentário sobre eficiência quântica.
  • A eficiência quântica \eta=20\% significa que, em média, apenas 1 de cada 5 fótons incidentes resulta na emissão de um elétron coletado.
  • Isso é relativamente baixa a moderada: muitos fotodetectores comerciais (dependendo do material e do comprimento de onda) têm eficiências quânticas que variam de poucos por cento até >80–90% em condições ótimas; portanto 20\% indica perdas importantes.
  • Causas típicas para \eta<100\%: reflexão da superfície (fótons que não entram), absorção sem emissão, relaxação não radiativa (portadores recombinam antes de escapar), elétrons emitidos que não são coletados pela geometria elétrica do dispositivo.
  • Consequência prática: mesmo com potência razoável do laser, a corrente fotoelétrica pode ser pequena (no nosso caso \sim0{,}4\\ \mathrm{mA}); para aplicações que exigem correntes maiores normalmente usam-se fotocatodos mais eficientes, aumentam-se intensidades, ou usam-se etapas de amplificação (ex.: fotomultiplicadores).

Resposta

(a) E_{\text{fóton}}=2{,}48\\ \mathrm{eV}ó.\n
(b) N\approx1{,}26\times10^{16}\\ \mathrm{s^{-1}}.\n
(c) I_{\max}\approx4{,}03\times10^{-4}\\ \mathrm{A} (\approx0{,}403\\ \mathrm{mA}).\n
(d) Eficiência quântica =20\%: significa que só 1 em 5 fótons gera um elétron coletado; é uma eficiência moderadamente baixa, indicando perdas por reflexão, recombinação ou não-coleta dos elétrons.

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