Determine o intervalo de energia do fóton no espectro visível ( 400 \mathrm{mn}-700 \mathrm{~nm} ), espectro ultravioleta (5-400 \mathrm{~nm}) e infravermelho (700 \mathrm{~nm}-500000 \mathrm{~nm}). Comente o resultado.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedem os intervalos de energia dos fótons para três faixas de comprimento de onda:
    • Visível: \,400\\ \mathrm{nm} a \,700\\ \mathrm{nm}.
    • Ultravioleta (UV): \,5\\ \mathrm{nm} a \,400\\ \mathrm{nm}.
    • Infravermelho (IV): \,700\\ \mathrm{nm} a \,500000\\ \mathrm{nm}.
  • O objetivo é converter cada intervalo de comprimento de onda em um intervalo de energia de fótons.
  • Informação importante a usar: relação entre comprimento de onda \lambda e energia de fóton E.

Passo 2

Fórmula básica e constantes (aula resumida e cuidadosa):
  • A energia de um fóton é dada por
E = \frac{h c}{\lambda},
onde:
  • E é a energia do fóton (em joules, \mathrm{J}, se h e c estiverem nas unidades SI),
  • h é a constante de Planck, h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
  • c é a velocidade da luz no vácuo, c = 299792458\\ \mathrm{m/s},
  • \lambda é o comprimento de onda (em metros, \mathrm{m}).
  • Como é muito prático trabalhar com \lambda em nanômetros e energia em elétron-volt, usamos o valor aproximado (fácil de aplicar)
hc \approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm},
o que dá a fórmula rápida
E\;(\mathrm{eV}) \approx \frac{1240}{\lambda\;(\mathrm{nm})}.
  • Se for preciso energia em joules, usa-se 1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Vou apresentar os resultados tanto em elétron-volts quanto em joules.

Passo 3

Cálculo do intervalo para o espectro visível ( 400\\ \mathrm{nm} 700\\ \mathrm{nm}):
  • Repare que energia e comprimento de onda são inversamente proporcionais: menor \lambda → maior E. Então:
    • Energia máxima (maior) em \lambda=400\\ \mathrm{nm}:
    E_{\max} \approx \frac{1240}{400} = 3{,}10\\ \mathrm{eV}.Em joules: E_{\max} \approx 3{,}10 \times 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} \approx 4{,}97\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
    • Energia mínima (menor) em \lambda=700\\ \mathrm{nm}:
    E_{\min} \approx \frac{1240}{700} = 1{,}77\\ \mathrm{eV}.Em joules: E_{\min} \approx 1{,}77 \times 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} \approx 2{,}84\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Portanto o intervalo de energia do visível (em ordem crescente de energia) é aproximadamente E \in [1{,}77\\ \mathrm{eV},\\\ 3{,}10\\ \mathrm{eV}]ou E \in [2{,}84\times10^{-19}\\ \mathrm{J},\\\ 4{,}97\times10^{-19}\\ \mathrm{J}].

Passo 4

Cálculo do intervalo para o espectro ultravioleta ( 5\\ \mathrm{nm} 400\\ \mathrm{nm}):
  • Energia mínima (menor) corresponde ao maior comprimento de onda \lambda=400\\ \mathrm{nm}, que já calculamos: E_{\min} \approx 3{,}10\\ \mathrm{eV} \quad(\approx 4{,}97\times10^{-19}\\ \mathrm{J}).
  • Energia máxima corresponde ao menor comprimento de onda \lambda=5\\ \mathrm{nm}: E_{\max} \approx \frac{1240}{5} = 248\\ \mathrm{eV}.Em joules: E_{\max} \approx 248 \times 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} \approx 3{,}97\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
  • Portanto o intervalo de energia do UV é aproximadamente E \in [3{,}10\\ \mathrm{eV},\\\ 248\\ \mathrm{eV}]ou E \in [4{,}97\times10^{-19}\\ \mathrm{J},\\\ 3{,}97\times10^{-17}\\ \mathrm{J}].

Passo 5

Cálculo do intervalo para o espectro infravermelho ( 700\\ \mathrm{nm} 500000\\ \mathrm{nm}):
  • Energia máxima (maior) em \lambda=700\\ \mathrm{nm} (já calculada para o visível): E_{\max} \approx 1{,}77\\ \mathrm{eV} \quad(\approx 2{,}84\times10^{-19}\\ \mathrm{J}).
  • Energia mínima em \lambda=500000\\ \mathrm{nm} (ou 5\times10^{5}\\ \mathrm{nm}): E_{\min} \approx \frac{1240}{500000} = 0{,}00248\\ \mathrm{eV}.Em joules: E_{\min} \approx 0{,}00248 \times 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} \approx 3{,}97\times10^{-22}\\ \mathrm{J}.
  • Portanto o intervalo de energia do infravermelho é aproximadamente E \in [0{,}00248\\ \mathrm{eV},\\\ 1{,}77\\ \mathrm{eV}]ou E \in [3{,}97\times10^{-22}\\ \mathrm{J},\\\ 2{,}84\times10^{-19}\\ \mathrm{J}].

Passo 6

Comentando o resultado (lição prática e física, sem complicar):
  • Relação inversa: comprimentos de onda curtos (UV) significam fótons de alta energia; comprimentos longos (IR longo) significam fótons de baixa energia. Isso vem diretamente de E=hc/\lambda.
  • As regiões se conectam nas fronteiras: 400\\ \mathrm{nm} aparece tanto no final do UV quanto no início do visível; 700\\ \mathrm{nm} é fronteira entre visível e infravermelho. Não há “buracos” energéticos — só mudanças graduais.
  • Significado físico:
    • UV (vários eV até centenas de eV) tem energia suficiente para excitar elétrons fortemente e, em muitos casos, ionizar átomos ou quebrar ligações químicas (por isso UV pode causar queimaduras e danificar DNA).
    • Visível (cerca de 1{,}8 3{,}1\\ \mathrm{eV}) corresponde às energias típicas de transições eletrônicas que nossos olhos detectam e também a muitos gaps de semicondutores usados em fotônica.
    • IV (de milésimos de eV até \sim 1{,}8\\ \mathrm{eV}) corresponde a energias de vibrações e rotações moleculares, aquecimento térmico e sensores térmicos.
  • Em resumo: curto comprimento de onda = fóton “mais energético” (mais capaz de provocar efeitos químicos/ionização); longo comprimento de onda = fóton “menos energético” (interage mais com modos vibracionais e térmicos).

Resposta

\text{Visível: }E\in[1{,}77\\ \mathrm{eV},\\\ 3{,}10\\ \mathrm{eV}]=[2{,}84\times10^{-19}\\ \mathrm{J},\\\ 4{,}97\times10^{-19}\\ \mathrm{J}]í\n
\text{Ultravioleta: }E\in[3{,}10\\ \mathrm{eV},\\\ 248\\ \mathrm{eV}]=[4{,}97\times10^{-19}\\ \mathrm{J},\\\ 3{,}97\times10^{-17}\\ \mathrm{J}]\n
\text{Infravermelho: }E\in[0{,}00248\\ \mathrm{eV},\\\ 1{,}77\\ \mathrm{eV}]=[3{,}97\times10^{-22}\\ \mathrm{J},\\\ 2{,}84\times10^{-19}\\ \mathrm{J}]

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