A estrutura em forma de “L” é composta por dois segmentos e submetida a uma carga distribuída uniformemente. Determine o deslocamento horizontal da extremidade C .
Considere \mathrm{L}=50 \mathrm{~cm} ; \mathrm{w}=10 \mathrm{kN} / \mathrm{m} ; \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa} ; \mathrm{I}=5,0\left(10^{-5}\right) \mathrm{mm}^{4}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o deslocamento horizontal da extremidade C de uma estrutura em “L” composta por dois segmentos ortogonais unidos em B e engastada em A. A carga é uma força distribuída horizontalmente (para a esquerda) ao longo do segmento vertical BC.
Dados fornecidos (vou escrever todos com unidades e já convertendo para um sistema coerente SI):
L=50\\ \mathrm{cm}=0,50\\ \mathrm{m},
w=10\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}=10\,000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m},
E=200\\ \mathrm{GPa}=200\times10^{9}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2.
O momento de inércia foi informado como \mathrm{I}=5,0(10^{-5})\\ \mathrm{mm}^{4}. Isto está ambíguo no enunciado; vou assumir a interpretação coerente em problemas de vigas, ou seja:
I=5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^4.
(Se você tinha outra unidade em mente, me avise; não posso pedir dados extras, então sigo essa interpretação.)
Observações importantes sobre o problema:
  • Queremos o deslocamento horizontal em C causado pela carga distribuída no ramo vertical.
  • A estrutura tem duas partes: BC (vertical, carregada lateralmente) e AB (horizontal, engastada em A).
  • Vou usar um método que calcula a contribuição da flambagem por flexão (energia de flexão) — método do trabalho virtual / Castigliano para vigas — e vou desprezar efeitos de deformação axial (porque a área da seção não foi informada; além disso para deflexões laterais em quadros delgados normalmente a contribuição por flexão domina).

Passo 2

Conceito que vou usar (explicação didática): método do trabalho virtual / energia de deformação para encontrar deslocamento.
  • Regra prática: para uma estrutura elástica, o deslocamento \delta na direção de uma força aplicada pode ser obtido aplicando uma força virtual unitária nessa direção e usando
\delta=\frac{1}{EI}\int_{\text{todos os vigas}} M_{\text{real}}(s)\,M_{\text{virtual}}(s)\,ds
quando apenas o efeito de flexão é considerado. Aqui:
  • M_{\text{real}}(s) é o momento fletor interno no ponto s devido às cargas reais.
  • M_{\text{virtual}}(s) é o momento interno no ponto s devido a uma força unitária aplicada na posição e direção em que queremos o deslocamento (aqui: força unitária horizontal em C).
  • E é o módulo de Young e I o momento de inércia (assumimos os mesmos E e I em ambas as vigas).
  • A integração é feita sobre todo o comprimento das vigas onde há momento fletor.
  • Esse é o resultado do princípio dos trabalhos virtuais aplicado para pequenas deformações e materiais lineares.
  • Observação: também existirão esforços axiais reais e virtuais; o termo equivalente seria \int N_{\text{real}}N_{\text{virtual}}/(EA)\,ds. Como a área A não foi dada, e em estruturas como esta a contribuição axial costuma ser muito menor que a de flexão para deslocamentos laterais, eu vou desprezar o termo axial (modus operandi comum em exercícios didáticos quando A não é fornecida). Se for necessário incluir axial, precisaríamos de A.
Plano de ação prático:
  1. Calcular os momentos fletores ao longo de BC e AB para as cargas reais (o carregamento distribuído w sobre BC).
  2. Aplicar uma carga virtual unitária (força horizontal de magnitude 1 para a direita) em C e calcular os momentos fletores virtuais ao longo de BC e AB.
  3. Calcular a integral \displaystyle\frac{1}{EI}\int (M_{\text{real}}M_{\text{virtual}}) ds somando as contribuições das duas vigas.
  4. Substituir números e obter \delta.

Passo 3

Momentos fletores devido às cargas reais (sistema real).
Defino coordenadas:
  • No ramo vertical BC: coordenada y medida a partir de B (base) para cima até C ( y=0 em B, y=L em C).
  • No ramo horizontal AB: coordenada x medida a partir de B (na junção) para a direita até A ( x=0 em B, x=L em A).
Para o ramo vertical BC com a carga distribuída w (para a esquerda), a parcela acima de uma seção a uma distância y de B tem comprimento L-y. O momento fletor, tomando o efeito do carregamento acima da seção, é:
M_{\text{real,BC}}(y)=\frac{w\,(L-y)^2}{2}.
Verificações rápidas:
  • Em y=0 (base B): M_{\text{real,BC}}(0)=\dfrac{wL^2}{2} (momento de base, faz sentido).
  • Em y=L (topo C): M_{\text{real,BC}}(L)=0.
No ponto B existe o momento transmitido para o ramo horizontal AB, igual a M_B=\dfrac{wL^2}{2}. Esse momento atua como um momento concentrado em B sobre o membro horizontal, logo o momento fletor ao longo de AB (em qualquer seção x medida a partir de B) é constante e igual a:
M_{\text{real,AB}}(x)=\frac{wL^2}{2}\quad\text{para }0\le x\le L.

Passo 4

Momentos fletores no sistema virtual (força unitária horizontal aplicada em C).
Aplicamos uma força virtual unitária 1 (para a direita) em C. Essa força produz:
  • No ramo vertical BC: em uma seção a distância y de B, a parte acima da seção gera um momento igual a 1 vezes a distância entre C e a seção, que é (L-y). Portanto:
M_{\text{virt,BC}}(y)=L-y.
  • No ramo horizontal AB: a força unitária em C tem braço L em relação a B, de modo que a força unitária gera no nó B um momento 1\cdot L que é transmitido como momento constante ao longo de AB. Assim:
M_{\text{virt,AB}}(x)=L\quad\text{para }0\le x\le L.

Passo 5

Agora montamos a integral da energia de flexão (produto dos momentos reais e virtuais) e integramos sobre cada membro:
Contribuição do ramo BC:
\begin{aligned} I_1&=\int_{0}^{L} M_{\text{real,BC}}(y)\,M_{\text{virt,BC}}(y)\,dy =\int_{0}^{L}\left(\frac{w(L-y)^2}{2}\right)\,(L-y)\,dy\\[4pt] &=\frac{w}{2}\int_{0}^{L}(L-y)^3\,dy. \end{aligned}
Fazendo u=L-y (ou integrando diretamente):
\int_{0}^{L}(L-y)^3\,dy=\int_{0}^{L}u^3\,du=\frac{L^4}{4}.
Logo
I_1=\frac{w}{2}\cdot\frac{L^4}{4}=\frac{wL^4}{8}.
Contribuição do ramo AB:
\begin{aligned} I_2&=\int_{0}^{L} M_{\text{real,AB}}(x)\,M_{\text{virt,AB}}(x)\,dx =\int_{0}^{L}\left(\frac{wL^2}{2}\right)\,(L)\,dx\\[4pt] &=\frac{wL^3}{2}\int_{0}^{L} dx=\frac{wL^3}{2}\cdot L=\frac{wL^4}{2}. \end{aligned}
Somando as contribuições:
\int_{\text{todas}} M_{\text{real}}M_{\text{virt}}\,ds = I_1+I_2=\frac{wL^4}{8}+\frac{wL^4}{2}=\frac{5}{8}\,wL^4.
Portanto, o deslocamento horizontal em C (só pela flexão) é:
\delta=\frac{1}{EI}\cdot\frac{5}{8}\,wL^4=\frac{5\,wL^4}{8EI}.]

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos.
Calcule L^4:
L=0,50\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad L^4=(0,50)^4=0{,}0625\\ \mathrm{m}^4.
Calcule wL^4:
wL^4=10\,000\cdot0{,}0625=625\\ \mathrm{N\cdot m^3}\\ (\text{unidade decorrente do produto}).
Calcule o numerador \dfrac{5}{8}wL^4:
\frac{5}{8}wL^4=0{,}625\cdot625=390{,}625.
Calcule EI:
E\cdot I=(200\times10^{9})\cdot(5{,}0\times10^{-5})=200\cdot5{,}0\times10^{9-5}=1000\times10^{4}=1{,}0\times10^{7}\\ \mathrm{N\cdot m^2}.
Finalmente
\delta=\frac{390{,}625}{1{,}0\times10^{7}}=3{,}90625\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Passemos para mm (mais intuitivo):
\delta=3{,}90625\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=0{,}0390625\\ \mathrm{mm}\approx0{,}0391\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Interpretação e observações finais rápidas (motivacionais): o deslocamento horizontal da ponta C é muito pequeno, da ordem de centésimos de milímetro, o que é coerente para um material rígido ( E=200\\ \mathrm{GPa}) e momento de inércia relativamente grande. Lembre-se: esta resposta foi obtida desprezando contribuições axiais; se a área da seção fosse pequena, a contribuição axial poderia alterar um pouco o valor, mas em muitos problemas de deflexão lateral a flexão domina.

Resposta

\delta_C=3{,}91\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=0{,}0391\\ \mathrm{mm}

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