A estrutura em forma de “L” é composta por dois segmentos e submetida a uma carga distribuída uniformemente. Determine o deslocamento horizontal da extremidade C .
Considere
Considere
Passo 1
O enunciado pede: determinar o deslocamento horizontal da extremidade
de uma estrutura em “L” composta por dois segmentos ortogonais unidos em
e engastada em
. A carga é uma força distribuída horizontalmente (para a esquerda) ao longo do segmento vertical
.
Dados fornecidos (vou escrever todos com unidades e já convertendo para um sistema coerente SI):
O momento de inércia foi informado como
. Isto está ambíguo no enunciado; vou assumir a interpretação coerente em problemas de vigas, ou seja:
(Se você tinha outra unidade em mente, me avise; não posso pedir dados extras, então sigo essa interpretação.)
Observações importantes sobre o problema:
- Queremos o deslocamento horizontal em
causado pela carga distribuída no ramo vertical. - A estrutura tem duas partes:
(vertical, carregada lateralmente) e (horizontal, engastada em ). - Vou usar um método que calcula a contribuição da flambagem por flexão (energia de flexão) — método do trabalho virtual / Castigliano para vigas — e vou desprezar efeitos de deformação axial (porque a área da seção não foi informada; além disso para deflexões laterais em quadros delgados normalmente a contribuição por flexão domina).
Passo 2
Conceito que vou usar (explicação didática): método do trabalho virtual / energia de deformação para encontrar deslocamento.
- Regra prática: para uma estrutura elástica, o deslocamento
na direção de uma força aplicada pode ser obtido aplicando uma força virtual unitária nessa direção e usando
quando apenas o efeito de flexão é considerado. Aqui:
-
é o momento fletor interno no ponto devido às cargas reais. -
é o momento interno no ponto devido a uma força unitária aplicada na posição e direção em que queremos o deslocamento (aqui: força unitária horizontal em ). -
é o módulo de Young e o momento de inércia (assumimos os mesmos e em ambas as vigas). - A integração é feita sobre todo o comprimento das vigas onde há momento fletor.
- Esse é o resultado do princípio dos trabalhos virtuais aplicado para pequenas deformações e materiais lineares.
- Observação: também existirão esforços axiais reais e virtuais; o termo equivalente seria
. Como a área não foi dada, e em estruturas como esta a contribuição axial costuma ser muito menor que a de flexão para deslocamentos laterais, eu vou desprezar o termo axial (modus operandi comum em exercícios didáticos quando não é fornecida). Se for necessário incluir axial, precisaríamos de .
Plano de ação prático:
- Calcular os momentos fletores ao longo de
e para as cargas reais (o carregamento distribuído sobre ). - Aplicar uma carga virtual unitária (força horizontal de magnitude
para a direita) em e calcular os momentos fletores virtuais ao longo de e . - Calcular a integral
somando as contribuições das duas vigas. - Substituir números e obter
.
Passo 3
Momentos fletores devido às cargas reais (sistema real).
Defino coordenadas:
- No ramo vertical
: coordenada medida a partir de (base) para cima até ( em , em ). - No ramo horizontal
: coordenada medida a partir de (na junção) para a direita até ( em , em ).
Para o ramo vertical
com a carga distribuída
(para a esquerda), a parcela acima de uma seção a uma distância
de
tem comprimento
. O momento fletor, tomando o efeito do carregamento acima da seção, é:
Verificações rápidas:
- Em
(base ): (momento de base, faz sentido). - Em
(topo ): .
No ponto
existe o momento transmitido para o ramo horizontal
, igual a
. Esse momento atua como um momento concentrado em
sobre o membro horizontal, logo o momento fletor ao longo de
(em qualquer seção
medida a partir de
) é constante e igual a:
Passo 4
Momentos fletores no sistema virtual (força unitária horizontal aplicada em
).
Aplicamos uma força virtual unitária
(para a direita) em
. Essa força produz:
- No ramo vertical
: em uma seção a distância de , a parte acima da seção gera um momento igual a vezes a distância entre e a seção, que é . Portanto:
- No ramo horizontal
: a força unitária em tem braço em relação a , de modo que a força unitária gera no nó um momento que é transmitido como momento constante ao longo de . Assim:
Passo 5
Agora montamos a integral da energia de flexão (produto dos momentos reais e virtuais) e integramos sobre cada membro:
Contribuição do ramo
:
Fazendo
(ou integrando diretamente):
Logo
Contribuição do ramo
:
Somando as contribuições:
Portanto, o deslocamento horizontal em
(só pela flexão) é:
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos.
Calcule
:
Calcule
:
Calcule o numerador
:
Calcule
:
Finalmente
Passemos para mm (mais intuitivo):
Passo 7
Interpretação e observações finais rápidas (motivacionais): o deslocamento horizontal da ponta
é muito pequeno, da ordem de centésimos de milímetro, o que é coerente para um material rígido (
) e momento de inércia relativamente grande. Lembre-se: esta resposta foi obtida desprezando contribuições axiais; se a área da seção fosse pequena, a contribuição axial poderia alterar um pouco o valor, mas em muitos problemas de deflexão lateral a flexão domina.