Um parafuso \mathrm{M} 14 \times 2, de classe 8.8 com roscas laminadas é pré-carregado a 90 \% da sua resistência de prova quando sujeita uma junta de 3 cm de espessura em sanduíche e constituída de alumínio sólido. Determine os fatores de segurança contra escoamento estático e separação de junta quando uma carga externa de 5 kN é aplicada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dados: parafuso \mathrm{M}\,14\times2, classe 8{.}8, roscas laminadas; pré-carga igual a 90\% da sua resistência de prova; junta tipo “sanduíche” de alumínio maciço com espessura total 3\\ \text{cm} (ou seja, 30\\ \text{mm}); carga externa aplicada F_{\text{ext}}=5\\ \text{kN}.
  • Pedidos: determinar
    1. o fator de segurança contra escoamento estático (do parafuso) quando a carga externa é aplicada, e
    2. o fator de segurança contra separação da junta (i.e., quanto a carga externa pode aumentar até que a junta se abra).
Informações numéricas que já temos (ou precisaremos adotar/assumir para resolver): o módulo de Young do aço e do alumínio, e uma forma prática de estimar as rigidezes do parafuso e das peças montadas. Não resolvo nada ainda aqui — só organizei o que é pedido e o que foi dado.

Passo 2

Calcular a área de secção resistente (área de tração efetiva) do parafuso \mathrm{M}14\times2. Usamos a fórmula ISO para área de rosca (área de tração efetiva)
A_s = \frac{\pi}{4}\bigl(d - 0{,}9382\,p\bigr)^2
onde d é o diâmetro nominal e p o passo. Aqui d=14\\ \text{mm} e p=2\\ \text{mm}. Então
d - 0{,}9382\,p = 14 - 0{,}9382\cdot 2 = 14 - 1{,}8764 = 12{,}1236\\ \text{mm},
A_s = \frac{\pi}{4}\,(12{,}1236)^2 \approx 115{,}43\\ \text{mm}^2.

Passo 3

Determinar a pré-carga inicial F_i. Para a classe 8{.}8 temos resistência última R_m=800\\ \text{MPa} e a resistência de prova (tensão de escoamento aproximada) costuma ser R_{p0{,}2}\approx 0{,}8\,R_m = 640\\ \text{MPa}. A pré-carga foi dada como 90\% de R_{p0{,}2}, isto é
\sigma_{\text{pré}} = 0{,}9\cdot 640 = 576\\ \text{MPa}.é
A força de pré-carga é
F_i = \sigma_{\text{pré}}\;A_s = 576\\ \frac{\text{N}}{\text{mm}^2}\cdot 115{,}43\\ \text{mm}^2 \approx 66\,486\\ \text{N}\\ (\approx 66{,}49\\ \text{kN}).é

Passo 4

Modelo de partilha de carga (modelo mola em série): o parafuso e as peças montadas são modelados por duas rigidezes lineares em série, k_b (parafuso) e k_m (peças). Quando aplicamos uma carga externa F_{\text{ext}} que tende a separar a junta, a variação da carga do parafuso é
\Delta F_b = \frac{k_b}{k_b + k_m}\;F_{\text{ext}},
e a força de aperto nas peças diminui de
\Delta F_c = \frac{k_m}{k_b + k_m}\;F_{\text{ext}}.
Portanto a carga final no parafuso é
F_{b,\text{final}} = F_i + \Delta F_b,
e a força de aperto residual entre as peças é
F_c = F_i - \Delta F_c.
A separação ocorre quando F_c \le 0. Para usar estas fórmulas precisamos estimar k_b e k_m. Vou explicar e calcular cada um.

Passo 5

Rigidez do parafuso k_b. Aproximação simples (parafuso como barra cilindrica linear):
k_b = \frac{E_b\;A_s}{L_b},
onde E_b é o módulo de Young do aço ( E_b = 210{,}000\\ \text{N}/\text{mm}^2) e L_b é o comprimento efetivo do parafuso que se estica sob carga (ou seja o comprimento de aperto). Aqui a junta tem espessura 30\\ \text{mm}; para simplicidade assume-se L_b=30\\ \text{mm} (é a hipótese padrão quando não se dá comprimento do parafuso). Assim
k_b = \frac{210{,}000\cdot 115{,}43}{30}\\ \frac{\text{N}}{\text{mm}} \approx 807{,}989\\ \frac{\text{N}}{\text{mm}}\\ (\approx 8{,}08\times10^5\\ \text{N}/\text{mm}).
Breve explicação: A_s já é a área que realmente resiste à tração no parafuso; E_b em N/mm² e L_b em mm dão k_b em N/mm.

Passo 6

Rigidez das peças montadas k_m. Precisamos estimar uma área efetiva das peças que trabalha na compressão sob a cabeça e contra-porca. Uma estimativa prática (regra de bolso para distribuição de carga) é tomar um diâmetro efetivo de atuação D_{\text{eff}}\approx 3\,d (isto significa que a compressão se espalha até aproximadamente 1{,}5 vezes o raio do parafuso ao redor). Adoto D_{\text{eff}}=3\cdot 14 = 42\\ \text{mm}. Tomando a área comprimida efetiva como anel entre D_{\text{eff}} e o diâmetro da haste d,
A_m \approx \frac{\pi}{4}\bigl(D_{\text{eff}}^2 - d^2\bigr) = \frac{\pi}{4}(42^2 - 14^2)\\ \text{mm}^2 \approx 1\,231\\ \text{mm}^2.
Para o módulo do alumínio uso E_m = 70{,}000\\ \text{N}/\text{mm}^2 e a espessura total comprimida é t=30\\ \text{mm}. Assim
k_m \approx \frac{E_m\;A_m}{t} = \frac{70{,}000\cdot 1\,231}{30}\\ \frac{\text{N}}{\text{mm}} \approx 2{,}872{,}333\\ \frac{\text{N}}{\text{mm}}\\ (\approx 2{,}87\times10^6\\ \text{N}/\text{mm}).
Comentário curto: esta é uma estimativa prática — existem modelos mais sofisticados que dividem em anéis concêntricos, mas esta aproximação é muito usada em exercícios e dá ordem de grandeza correta.

Passo 7

Determinar a fração da carga externa que vai para o parafuso e avaliar escoamento. Defino
\alpha := \frac{k_b}{k_b + k_m}.
Numericamente,
\alpha = \frac{807{,}989}{807{,}989 + 2{,}872{,}333} \approx 0{,}2196.
Portanto a variação da carga do parafuso devido a F_{\text{ext}}=5{,}000\\ \text{N} é
\Delta F_b = \alpha\cdot 5{,}000 \approx 1{,}098\\ \text{N}\times 10^3 \approx 1{,}098\\ \text{kN}.
A carga final no parafuso é
F_{b,\text{final}} = F_i + \Delta F_b \approx 66{,}486 + 1{,}098 \approx 67{,}584\\ \text{N}.
A tensão final no parafuso vale
\sigma_b = \frac{F_{b,\text{final}}}{A_s} \approx \frac{67{,}584}{115{,}43}\\ \text{N/mm}^2 \approx 585{,}6\\ \text{MPa}.
A tensão de escoamento que usamos para classe 8{.}8 foi \sigma_{\text{y}}=640\\ \text{MPa}. O fator de segurança contra escoamento estático é
n_{\text{escoamento}} = \frac{\sigma_{\text{y}}}{\sigma_b} \approx \frac{640}{585{,}6} \approx 1{,}09.
Interpretação: o parafuso está com um fator de segurança pequeno, aproximadamente 1{,}09 — ou seja, bem próximo do limite de escoamento; atenção prática: pouca margem.

Passo 8

Avaliar separação da junta. A redução da força de aperto (clamp) causada pela carga externa é
\Delta F_c = (1-\alpha)\,F_{\text{ext}} \approx 0{,}7804\cdot 5{,}000 \approx 3{,}902\\ \text{N}.
A força de aperto residual é
F_c = F_i - \Delta F_c \approx 66{,}486 - 3{,}902 \approx 62{,}584\\ \text{N},
positiva, logo a junta não separa com 5\\ \text{kN}. A carga externa crítica que levaria à separação (i.e., faria F_c=0) é
F_{\text{sep,crit}} = \frac{F_i}{1-\alpha} \approx \frac{66{,}486}{0{,}7804} \approx 85{,}247\\ \text{N} \approx 85{,}25\\ \text{kN}.
Portanto o fator de segurança contra separação, definido como a razão entre F_{\text{sep,crit}} e a carga real F_{\text{ext}}, é
n_{\text{separação}} = \frac{F_{\text{sep,crit}}}{F_{\text{ext}}} \approx \frac{85{,}247}{5{,}000} \approx 17{,}05.çã

Passo 9

Resumo das hipóteses feitas (importante para interpretar os números):
  • Usei a área de tração ISO para \mathrm{M}14\times2.
  • Adotei \sigma_{y} para classe 8{.}8 igual a 0{,}8R_m = 640\\ \text{MPa} e pré-carga 90\% dessa tensão.
  • Assumi comprimento efetivo do parafuso L_b=30\\ \text{mm} (igual à espessura da junta).
  • Estimei a área de compressão das peças por uma regra prática com D_{\text{eff}}=3d. Essas hipóteses são típicas em exercícios; variações nessas hipóteses podem mudar um pouco os fatores calculados (especialmente o de escoamento, que está bem próximo de 1).

Resposta

n_{\text{escoamento}}\approx 1{,}09
n_{\text{separação}}\approx 17{,}05çã

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