Para que a estrutura de um submarino não seja danificada, a diferença entre as pressões externa e interna deve ser, no máximo, de 6 atm. A pressão no interior deve ser mantida a pressão constante e igual a 1 atm , para que os tripulantes viajem confortavelmente. Quando esse submarino estiver submerso no mar, qual é a profundidade que ele pode alcançar com segurança?
Considere
.
Considere
Passo 1
O enunciado pede a profundidade máxima
que o submarino pode alcançar sem que a diferença entre a pressão externa e a pressão interna ultrapasse
atm. Informações dadas:
- A pressão interna é constante e igual a
atm. - A diferença máxima permitida entre pressão externa e interna é
atm. - A densidade da água do mar é
(dado do enunciado). - Queremos a profundidade
quando o submarino estiver submerso no mar.
Nada mais foi pedido além de encontrar essa profundidade de segurança.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar: pressão hidrostática. Quando estamos a uma profundidade
num líquido homogêneo, a pressão absoluta externa é dada por
Explicando cada símbolo:
-
é a pressão absoluta no ponto considerado (a pressão que age sobre o casco do submarino). -
é a pressão atmosférica na superfície (a pressão do ar em cima do mar). -
é a densidade do fluido (aqui ). -
é a aceleração da gravidade (vamos usar ). -
é a profundidade medida a partir da superfície até o casco do submarino.
A razão desta fórmula: cada coluna de água de área unitária e alturapesa newtons, o que corresponde a um aumento de pressão de pascals sobre a pressão na superfície.
Passo 3
Condicionamento de segurança dado no enunciado: a diferença entre pressão externa e interna deve ser, no máximo,
atm. Em fórmula:
Como
atm (dado), o valor máximo de
seguro é
Mas, da fórmula hidrostática,
A pressão atmosférica
é
atm. Subtraindo
dos dois lados, o aumento de pressão devido à coluna de água é
Para a condição limite segura (
atm) temos
atm. Portanto podemos usar diretamente
Passo 4
Precisamos trabalhar em unidades do SI (Pascals). Converter atm para pascal:
Logo
Passo 5
Isolando
na equação
(já convertida em pascal) obtemos a fórmula para a profundidade:
Substituindo
e
,
Passo 6
Calculemos o denominador e a divisão passo a passo:
Agora
Reescrevendo a potência de 10:
Fazendo a divisão
. Portanto
Arredondando para um valor prático, podemos dizer aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação: o submarino, mantendo pressão interna
atm, pode descer até cerca de
sem que a diferença de pressão externa-interna ultrapasse
atm. Na prática, por margem de segurança operacional, costuma-se escolher profundidade menor do que esse limite, mas o valor calculado é a profundidade teórica máxima permitida segundo os dados dados.