Para que a estrutura de um submarino não seja danificada, a diferença entre as pressões externa e interna deve ser, no máximo, de 6 atm. A pressão no interior deve ser mantida a pressão constante e igual a 1 atm , para que os tripulantes viajem confortavelmente. Quando esse submarino estiver submerso no mar, qual é a profundidade que ele pode alcançar com segurança?
Considere \rho_{\text {mar }}=1,2 \cdot 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede a profundidade máxima h que o submarino pode alcançar sem que a diferença entre a pressão externa e a pressão interna ultrapasse 6 atm. Informações dadas:
  • A pressão interna é constante e igual a 1 atm.
  • A diferença máxima permitida entre pressão externa e interna é 6 atm.
  • A densidade da água do mar é \rho_{\text{mar}}=1,2\cdot10^{3}\,\mathrm{kg/m^{3}} (dado do enunciado).
  • Queremos a profundidade h quando o submarino estiver submerso no mar.
    Nada mais foi pedido além de encontrar essa profundidade de segurança.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: pressão hidrostática. Quando estamos a uma profundidade h num líquido homogêneo, a pressão absoluta externa é dada por
P_{\text{ext}} = P_{\text{atm}} + \rho g h.
Explicando cada símbolo:
  • P_{\text{ext}} é a pressão absoluta no ponto considerado (a pressão que age sobre o casco do submarino).
  • P_{\text{atm}} é a pressão atmosférica na superfície (a pressão do ar em cima do mar).
  • \rho é a densidade do fluido (aqui \rho_{\text{mar}}).
  • g é a aceleração da gravidade (vamos usar g=9,8\,\mathrm{m/s^{2}}).
  • h é a profundidade medida a partir da superfície até o casco do submarino.
    A razão desta fórmula: cada coluna de água de área unitária e altura h pesa \rho g h newtons, o que corresponde a um aumento de pressão de \rho g h pascals sobre a pressão na superfície.

Passo 3

Condicionamento de segurança dado no enunciado: a diferença entre pressão externa e interna deve ser, no máximo, 6 atm. Em fórmula:
P_{\text{ext}} - P_{\text{int}} \le 6\\ \text{atm}.
Como P_{\text{int}}=1 atm (dado), o valor máximo de P_{\text{ext}} seguro é
P_{\text{ext, max}} = 1\\ \text{atm} + 6\\ \text{atm} = 7\\ \text{atm}.
Mas, da fórmula hidrostática,
P_{\text{ext}} = P_{\text{atm}} + \rho g h.
A pressão atmosférica P_{\text{atm}} é 1 atm. Subtraindo P_{\text{atm}} dos dois lados, o aumento de pressão devido à coluna de água é
\rho g h = P_{\text{ext}} - P_{\text{atm}}.
Para a condição limite segura ( P_{\text{ext}}-P_{\text{int}}=6 atm) temos P_{\text{ext}}-P_{\text{atm}} = 6 atm. Portanto podemos usar diretamente
\rho g h = 6\\ \text{atm}.

Passo 4

Precisamos trabalhar em unidades do SI (Pascals). Converter atm para pascal:
1\\ \text{atm} = 1,013\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Logo
6\\ \text{atm} = 6\cdot 1,013\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa} = 6,078\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Isolando h na equação \rho g h = 6\\ \text{atm} (já convertida em pascal) obtemos a fórmula para a profundidade:
h = \frac{6\\ \text{atm (em Pa)}}{\rho g}.
Substituindo \rho=\rho_{\text{mar}}=1,2\cdot10^{3}\,\mathrm{kg/m^{3}} e g=9,8\,\mathrm{m/s^{2}},
h = \frac{6,078\cdot10^{5}}{(1,2\cdot10^{3})\cdot 9,8}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calculemos o denominador e a divisão passo a passo:
(1,2\cdot10^{3})\cdot 9,8 = 11,76\cdot10^{3} = 1,176\cdot10^{4}.
Agora
h = \frac{6,078\cdot10^{5}}{1,176\cdot10^{4}}.
Reescrevendo a potência de 10:
h = \frac{6,078}{1,176}\cdot10^{1}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a divisão 6,078/1,176 \approx 5,17. Portanto
h \approx 5,17\cdot10^{1}\\ \mathrm{m} = 51,7\\ \mathrm{m}.
Arredondando para um valor prático, podemos dizer aproximadamente 52\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação: o submarino, mantendo pressão interna 1 atm, pode descer até cerca de 51,7\\ \mathrm{m} sem que a diferença de pressão externa-interna ultrapasse 6 atm. Na prática, por margem de segurança operacional, costuma-se escolher profundidade menor do que esse limite, mas o valor calculado é a profundidade teórica máxima permitida segundo os dados dados.

Resposta

51,7\\ \mathrm{m}

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