Questão 1: Vamos mostrar que para um campo magnético \vec{B}, um possível potencial vetorial é
\vec{A}=\frac{1}{2}(\vec{B} \times \vec{r})
onde \vec{r} é o vetor posição.

Passo 1

O enunciado dá que existe um campo magnético \vec{B} (assumiremos que \vec{B} é um vetor constante no espaço, ou seja, um campo magnético uniforme) e define o potencial vetorial candidato
\vec{A}=\frac{1}{2}(\vec{B}\times\vec{r}),
onde \vec{r} é o vetor posição \vec{r}=x\,\hat{\imath}+y\,\hat{\jmath}+z\,\hat{k}.
O que nos pedem é mostrar que esse \vec{A} é um potencial vetorial para \vec{B}, isto é, mostrar que o rotacional de \vec{A} é igual a \vec{B}:
\nabla\times\vec{A}=\vec{B}.

Passo 2

Lembra rápido o que é rotacional e divergente (essas são operações com o operador nabla \nabla):
  • O rotacional de um campo vetorial \vec{F} é o vetor
\nabla\times\vec{F},
que mede a tendência de \vec{F} “girar” localmente. Em coordenadas cartesianas dá-se por determinante com \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} e derivadas parciais, mas vamos usar uma identidade vetorial mais prática.
  • O divergente de um campo vetorial \vec{G} é o escalar
\nabla\cdot\vec{G},
que mede a taxa de “saída” de \vec{G} de um ponto.
Também usaremos a identidade vetorial padrão (identidade do rotacional de um produto vetorial). Para quaisquer campos vetoriais \vec{F} e \vec{G},
\nabla\times(\vec{F}\times\vec{G})=\vec{F}(\nabla\cdot\vec{G})-\vec{G}(\nabla\cdot\vec{F})+(\vec{G}\cdot\nabla)\vec{F}-(\vec{F}\cdot\nabla)\vec{G}.
Aqui cada termo significa:
  • \nabla\cdot\vec{G} é o divergente de \vec{G}, um escalar; multiplicando por \vec{F} dá um vetor.
  • (\vec{G}\cdot\nabla)\vec{F} é o operador direcional: aplico o operador \vec{G}\cdot\nabla=G_x\partial_x+G_y\partial_y+G_z\partial_z às componentes de \vec{F}, resultando num vetor.
Vou aplicar essa identidade com \vec{F}=\vec{B} (constante) e \vec{G}=\vec{r}.

Passo 3

Avalio termo a termo para \vec{F}=\vec{B} constante e \vec{G}=\vec{r}.
  1. Primeiro, \nabla\cdot\vec{r}: por definição \vec{r}=x\,\hat{\imath}+y\,\hat{\jmath}+z\,\hat{k}, então
\nabla\cdot\vec{r}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3.
  1. Segundo, \nabla\cdot\vec{B}: como \vec{B} é constante (não depende de x,y,z), todas as derivadas parciais das suas componentes são zero, então
\nabla\cdot\vec{B}=0.
  1. Terceiro, (\vec{r}\cdot\nabla)\vec{B}: esse operador aplica derivadas de \vec{B} ao longo de \vec{r}. Mas \vec{B} é constante, então suas derivadas são zero e
(\vec{r}\cdot\nabla)\vec{B}=\vec{0}.
  1. Quarto, (\vec{B}\cdot\nabla)\vec{r}: aqui aplicamos o operador direcional \vec{B}\cdot\nabla=B_x\partial_x+B_y\partial_y+B_z\partial_z ao vetor \vec{r}. Para ver o resultado componente a componente, note que a i-ésima componente de \vec{r} é r_i=x_i e
(\vec{B}\cdot\nabla)r_i=\sum_{j}B_j\frac{\partial r_i}{\partial x_j}=\sum_{j}B_j\delta_{ij}=B_i,
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker. Portanto
(\vec{B}\cdot\nabla)\vec{r}=\vec{B}.

Passo 4

Agora substituo os resultados na identidade do Passo 2:
\nabla\times(\vec{B}\times\vec{r})=\vec{B}(\nabla\cdot\vec{r})-\vec{r}(\nabla\cdot\vec{B})+(\vec{r}\cdot\nabla)\vec{B}-(\vec{B}\cdot\nabla)\vec{r}.
Usando os valores encontrados:
  • \nabla\cdot\vec{r}=3,
  • \nabla\cdot\vec{B}=0,
  • (\vec{r}\cdot\nabla)\vec{B}=\vec{0},
  • (\vec{B}\cdot\nabla)\vec{r}=\vec{B},
temos
\nabla\times(\vec{B}\times\vec{r})=\vec{B}\cdot 3-\vec{r}\cdot 0+\vec{0}-\vec{B}=3\vec{B}-\vec{B}=2\vec{B}.

Passo 5

Voltando ao potencial candidato \vec{A}=\dfrac{1}{2}(\vec{B}\times\vec{r}), aplico o rotacional:
\nabla\times\vec{A}=\nabla\times\left(\frac{1}{2}(\vec{B}\times\vec{r})\right)=\frac{1}{2}\nabla\times(\vec{B}\times\vec{r}).
Pelo resultado do Passo 4, \nabla\times(\vec{B}\times\vec{r})=2\vec{B}. Logo
\nabla\times\vec{A}=\frac{1}{2}\cdot 2\vec{B}=\vec{B}.
Isso mostra exatamente que \vec{A}=\dfrac{1}{2}(\vec{B}\times\vec{r}) é um potencial vetorial para \vec{B}, pois seu rotacional é \vec{B}.

Passo 6

Breve comentário pra te animar: esse cálculo também mostra por que o potencial vetorial não é único — você pode somar o gradiente de qualquer escalar (um “gauge”) e ainda ter o mesmo rotacional. Aqui demos uma escolha simples e simétrica (o fator 1/2 aparece para cancelar o 2 que surgiu do rotacional de \vec{B}\times\vec{r}).

Resposta

\nabla\times\left(\tfrac{1}{2}(\vec{B}\times\vec{r})\right)=\vec{B}

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