Questão 1: Vamos mostrar que para um campo magnético
, um possível potencial vetorial é
onde
é o vetor posição.
Passo 1
O enunciado dá que existe um campo magnético
(assumiremos que
é um vetor constante no espaço, ou seja, um campo magnético uniforme) e define o potencial vetorial candidato
onde
é o vetor posição
.
O que nos pedem é mostrar que esse é um potencial vetorial para
, isto é, mostrar que o rotacional de
é igual a
:
O que nos pedem é mostrar que esse
Passo 2
Lembra rápido o que é rotacional e divergente (essas são operações com o operador nabla
):
- O rotacional de um campo vetorial
é o vetor
que mede a tendência de
“girar” localmente. Em coordenadas cartesianas dá-se por determinante com
e derivadas parciais, mas vamos usar uma identidade vetorial mais prática.
- O divergente de um campo vetorial
é o escalar
que mede a taxa de “saída” de
de um ponto.
Também usaremos a identidade vetorial padrão (identidade do rotacional de um produto vetorial). Para quaisquer campos vetoriais
e
,
Aqui cada termo significa:
-
é o divergente de , um escalar; multiplicando por dá um vetor. -
é o operador direcional: aplico o operador às componentes de , resultando num vetor.
Vou aplicar essa identidade com
(constante) e
.
Passo 3
Avalio termo a termo para
constante e
.
- Primeiro,
: por definição , então
- Segundo,
: como é constante (não depende de ), todas as derivadas parciais das suas componentes são zero, então
- Terceiro,
: esse operador aplica derivadas de ao longo de . Mas é constante, então suas derivadas são zero e
- Quarto,
: aqui aplicamos o operador direcional ao vetor . Para ver o resultado componente a componente, note que a i-ésima componente de é e
onde
é o delta de Kronecker. Portanto
Passo 4
Agora substituo os resultados na identidade do Passo 2:
Usando os valores encontrados:
-
, -
, -
, -
,
temos
Passo 5
Voltando ao potencial candidato
, aplico o rotacional:
Pelo resultado do Passo 4,
. Logo
Isso mostra exatamente que
é um potencial vetorial para
, pois seu rotacional é
.
Passo 6
Breve comentário pra te animar: esse cálculo também mostra por que o potencial vetorial não é único — você pode somar o gradiente de qualquer escalar (um “gauge”) e ainda ter o mesmo rotacional. Aqui demos uma escolha simples e simétrica (o fator
aparece para cancelar o
que surgiu do rotacional de
).