Na estruturação de um projeto de Redes Inteligentes, a modelagem de uma rede de corrente alternada mostrou que a tensão elétrica \boldsymbol{V}(\boldsymbol{t}), em Volts, fornecida por um inversor em função do tempo t, em segundos, obedece à lei de formação V(t)=170 \sin (120 \pi t).
a) Qual é a amplitude máxima da tensão nesta rede?
b) Qual é o período de oscilação completo desta onda?
c) Qual é a frequência do sistema elétrico em Hertz (inverso do período)?
d) Qual é o valor da tensão no instante inicial \mathrm{t}=0 ?
e) Calcule o valor da tensão no instante t=\frac{1}{240} de segundo.
f) Calcule o valor da tensão no instante t=\frac{1}{120} de segundo. (Interprete este resultado graficamente).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (isso ajuda a não se perder):
  • Dado: a tensão é \displaystyle V(t)=170\sin\bigl(120\pi t\bigr), em Volts, com t em segundos.
  • Perguntas:
    a) Qual é a amplitude máxima da tensão?
    b) Qual é o período de oscilação completo desta onda?
    c) Qual é a frequência do sistema elétrico em Hertz?
    d) Qual é o valor da tensão no instante inicial t=0?
    e) Calcule a tensão em t=\dfrac{1}{240}\\ \text{s}.
    f) Calcule a tensão em t=\dfrac{1}{120}\\ \text{s} e interprete graficamente esse resultado.

Passo 2

O que significa “amplitude” e como identificá-la na expressão dada.
  • Definição curta: a amplitude de uma função senoidal A\sin(\cdot) é |A|, ou seja, o valor máximo absoluto que a função atinge. É o coeficiente multiplicando a função seno.
  • Na nossa função a constante multiplicadora é 170. Portanto a amplitude máxima é
\text{Amplitude} = 170\\ \text{V}.
Explicação intuitiva: a tensão oscila entre +170\\ \text{V} e -170\\ \text{V}.

Passo 3

Como encontrar o período T a partir da forma V(t)=170\sin(\omega t).
  • Identificar a frequência angular \omega: comparando com \sin(\omega t) temos \omega = 120\pi (em rad/s).
  • Relação conhecida (aulas de oscilação/ondas): \omega = 2\pi f e T=\dfrac{1}{f}. Outra forma direta é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
  • Calculemos T:
T=\frac{2\pi}{120\pi}=\frac{2}{120}=\frac{1}{60}\\ \text{s}.
  • Em forma decimal: \dfrac{1}{60}\\ \text{s}\approx 0,016666\ldots\\ \text{s}.
Comentário de reforço: o período é o tempo que a onda leva para completar um ciclo inteiro (voltar ao mesmo valor e mesma inclinação).

Passo 4

Encontre a frequência f em Hertz.
  • A definição: f=\dfrac{1}{T}. Já temos T=\dfrac{1}{60}\\ \text{s}, então
f=\frac{1}{T}=60\\ \text{Hz}.
  • Alternativamente, usando \omega=2\pi f:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{120\pi}{2\pi}=60\\ \text{Hz}.
Comentário: 60\\ \text{Hz} é a frequência típica de redes elétricas em muitos países.

Passo 5

Avaliar a tensão no instante inicial t=0.
  • Substituir t=0 em V(t)=170\sin(120\pi t):
V(0)=170\sin(120\pi\cdot 0)=170\sin(0).
  • Sabendo que \sin(0)=0, conclui-se
V(0)=0\\ \text{V}.
Interpretação: no instante inicial a onda cruza o eixo zero.

Passo 6

Calcular V em t=\dfrac{1}{240}\\ \text{s}. Fazer a conta passo a passo sem calculadora usando identidades de ângulos notáveis.
  • Primeiro calcule o argumento do seno:
120\pi\cdot\frac{1}{240}=\frac{120}{240}\pi=\frac{1}{2}\pi=\frac{\pi}{2}.
  • Então
V\!\left(\frac{1}{240}\right)=170\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
  • Sabendo que \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1, obtemos
V\!\left(\frac{1}{240}\right)=170\\ \text{V}.
Interpretação temporal: \dfrac{1}{240}\\ \text{s}=\dfrac{T}{4} (um quarto do período), portanto é o pico positivo da onda.

Passo 7

Calcular V em t=\dfrac{1}{120}\\ \text{s} e interpretar graficamente.
  • Calcule o argumento:
120\pi\cdot\frac{1}{120}=\pi.
  • Portanto
V\!\left(\frac{1}{120}\right)=170\sin(\pi).
  • Como \sin(\pi)=0, concluímos
V\!\left(\frac{1}{120}\right)=0\\ \text{V}.
Interpretação gráfica: \dfrac{1}{120}\\ \text{s}=\dfrac{T}{2} (meio período), então a onda cruza novamente o eixo zero nesse instante — é o passo entre a metade positiva do ciclo e a metade negativa (após esse instante a tensão passa a ficar negativa até o próximo cruzamento). Em termos de ângulos: \pi rad corresponde a um cruzamento por zero no gráfico do seno.

Resposta

170\\ \text{V}
\dfrac{1}{60}\\ \text{s}\\ (\approx 0,016666\ldots\\ \text{s})
60\\ \text{Hz}
0\\ \text{V}
170\\ \text{V}
0\\ \text{V}

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