Amostras de concreto contaminadas por cloretos apresentam uma queda na sua resistividade superficial ao longo do tempo de exposição severa. A resistividade da amostra M1 é modelada pela função R(t)=100 \cdot e^{-0,2 t}, onde t é o tempo em semanas. (Considere \ln (2) \approx 0,7 ).
a) Qual é a resistividade inicial da amostra ( \mathrm{t}=0 )?
b) Qual é a resistividade exata na semana 5? (Deixe a resposta em função do número e).
c) Determine o tempo t necessário para que a resistividade caia pela metade.
d) Determine o tempo t necessário para que a resistividade atinja o valor de 25.
e) Se o ensaio ocorresse num tempo infinito ( t \rightarrow \infty ), para que valor a resistividade da amostra tenderia?
f) Considere uma amostra de teste modelada por R_{\text {teste }}(t)=100 \cdot e^{-0,5 t}. A contaminação nesta amostra avança de forma mais agressiva ou mais branda que na amostra M3?

Passo 1

O enunciado nos dá a função da resistividade da amostra M1:
R(t)=100\cdot e^{-0,2t},
onde t é o tempo em semanas. Vou listar claramente o que é pedido em cada item:
  • (a) Qual é a resistividade inicial da amostra ( t=0)?
  • (b) Qual é a resistividade exata na semana 5? (deixar em função de e)
  • (c) Determinar o tempo t para que a resistividade caia pela metade.
  • (d) Determinar o tempo t para que a resistividade atinja 25.
  • (e) Para que valor a resistividade tende quando t\to\infty?
  • (f) Comparar a agressividade da contaminação entre a amostra de teste R_{\text{teste}}(t)=100\cdot e^{-0,5t} e a amostra mencionada no enunciado. Observação importante: o enunciado pergunta “que na amostra M3”, porém só foi dada explicitamente a função da amostra M1. Vou assumir que a comparação desejada é entre R_{\text{teste}} e a amostra M1 (a não ser que você confirme que há uma M3 diferente — nesse caso a comparação precisa dos dados de M3).

Passo 2

Resposta ao item (a): resistividade inicial t=0.
Explicação didática curta: quando se avalia uma função no instante inicial, basta substituir t=0. Lembre que e^{0}=1 porque a exponencial de zero é sempre 1 (essa é uma propriedade básica da função exponencial).
Cálculo:
R(0)=100\cdot e^{-0,2\cdot 0}=100\cdot e^{0}=100\cdot 1=100.

Passo 3

Resposta ao item (b): resistividade na semana 5.
Explicação didática: para obter o valor em um tempo específico, substitui-se t pelo número pedido. Não precisamos calcular o valor numérico aproximado se o enunciado pede a forma "em função de e".
Cálculo:
R(5)=100\cdot e^{-0,2\cdot 5}=100\cdot e^{-1}.
Portanto a expressão exata é \;100\cdot e^{-1}.

Passo 4

Resposta ao item (c): tempo para a resistividade cair pela metade.
Explicação didática: “cair pela metade” significa R(t)=\tfrac{1}{2}R(0). Para resolver equações exponenciais do tipo A\cdot e^{k t}=B usamos logaritmo natural \ln, que é a função inversa da exponencial e^{x}. Propriedades úteis:
  • \ln(e^{x})=x.
  • \ln(a\cdot b)=\ln a + \ln b.
  • \ln(a^{c})=c\ln a.
Cálculo passo a passo:
Começamos com
100\cdot e^{-0,2t}= \frac{1}{2}\cdot 100.
Dividindo ambos os lados por 100,
e^{-0,2t}=\frac{1}{2}.
Aplicando \ln nos dois lados,
-0,2t=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Mas \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2. Substituindo e isolando t,
-0,2t=-\ln 2 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\ln 2}{0,2}.
O enunciado permite usar \ln 2\approx 0,7. Assim
t=\frac{0,7}{0,2}=3,5\\ \text{semanas}.
Observação conceitual: para uma exponencial decrescente R(t)=R_0 e^{-kt} a “meia-vida” (tempo para cair pela metade) é t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}. Aqui k=0,2.

Passo 5

Resposta ao item (d): tempo para R(t)=25.
Explicação didática: seguimos o mesmo procedimento de resolver uma equação exponencial.
Cálculo direto:
100\cdot e^{-0,2t}=25.
Dividindo por 100,
e^{-0,2t}=0,25=\frac{1}{4}=2^{-2}.
Aplicando \ln,
-0,2t=\ln(2^{-2})=-2\ln 2.
Logo
t=\frac{2\ln 2}{0,2}.
Usando \ln 2\approx 0,7,
t=\frac{2\cdot 0,7}{0,2}=\frac{1,4}{0,2}=7,0\\ \text{semanas}.
Observação alternativa (intuitiva): ir de 100 para 25 é reduzir a um quarto, ou seja passar por duas “meias-vidas”: 100\to50\to25, então t=2\cdot 3,5=7 semanas.

Passo 6

Resposta ao item (e): comportamento quando t\to\infty.
Explicação didática: para qualquer constante positiva a>0, \lim_{t\to\infty} e^{-a t}=0 porque o expoente tende a -\infty e a exponencial de um número muito negativo é praticamente zero. Assim, multiplicando por 100 o limite também é zero.
Portanto
\lim_{t\to\infty} R(t)=0.
Interpretação física: sob exposição severa contínua, segundo este modelo a resistividade tende a zero (declínio contínuo sem limite inferior positivo no modelo).

Passo 7

Resposta ao item (f): comparar a agressividade entre R_{\text{teste}}(t)=100\cdot e^{-0,5t} e a amostra M1 ( R(t)=100\cdot e^{-0,2t}). (Reafirmando: estou assumindo que a comparação é com M1, pois M3 não foi fornecida.)
Explicação didática: para funções da forma 100\cdot e^{-k t}, o parâmetro k>0 controla a rapidez da queda: quanto maior k, mais rápido decai a função (mais agressiva a perda). Outra forma de comparar é calcular a meia-vida t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}: menor meia-vida = decaimento mais rápido.
Cálculo das meias-vidas:
  • Para M1: k=0,2, então t_{1/2}^{(\text{M1})}=\dfrac{\ln 2}{0,2}\approx \dfrac{0,7}{0,2}=3,5\\ \text{semanas}.
  • Para a amostra de teste: k=0,5, então t_{1/2}^{(\text{teste})}=\dfrac{\ln 2}{0,5}\approx \dfrac{0,7}{0,5}=1,4\\ \text{semanas}.
Conclusão: como 0,5>0,2 e a meia-vida da amostra de teste ( 1,4 semanas) é menor que a de M1 ( 3,5 semanas), a contaminação na amostra de teste avança de forma mais agressiva (isto é, a resistividade decai mais rápido) do que na amostra M1. Se de fato a comparação fosse com uma “M3” diferente, seria necessário conhecer a constante de decaimento dessa M3 para responder; sem esse dado não dá para comparar com M3.

Resposta

(a) 100
(b) 100\cdot e^{-1}
(c) t=3,5\\ \text{semanas}
(d) t=7,0\\ \text{semanas}
(e) \displaystyle\lim_{t\to\infty}R(t)=0
(f) Mais agressiva — a amostra de teste decai mais rápido ( k=0,5>0,2); meia-vida 1,4 semanas (teste) vs 3,5 semanas (M1).

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