Amostras de concreto contaminadas por cloretos apresentam uma queda na sua resistividade superficial ao longo do tempo de exposição severa. A resistividade da amostra M1 é modelada pela função
, onde
é o tempo em semanas. (Considere
).
a) Qual é a resistividade inicial da amostra (
)?
b) Qual é a resistividade exata na semana 5? (Deixe a resposta em função do número e).
c) Determine o tempo
necessário para que a resistividade caia pela metade.
d) Determine o tempo t necessário para que a resistividade atinja o valor de 25.
e) Se o ensaio ocorresse num tempo infinito (
), para que valor a resistividade da amostra tenderia?
f) Considere uma amostra de teste modelada por
. A contaminação nesta amostra avança de forma mais agressiva ou mais branda que na amostra M3?
a) Qual é a resistividade inicial da amostra (
b) Qual é a resistividade exata na semana 5? (Deixe a resposta em função do número e).
c) Determine o tempo
d) Determine o tempo t necessário para que a resistividade atinja o valor de 25.
e) Se o ensaio ocorresse num tempo infinito (
f) Considere uma amostra de teste modelada por
Passo 1
O enunciado nos dá a função da resistividade da amostra M1:
onde
é o tempo em semanas. Vou listar claramente o que é pedido em cada item:
- (a) Qual é a resistividade inicial da amostra (
)? - (b) Qual é a resistividade exata na semana 5? (deixar em função de
) - (c) Determinar o tempo
para que a resistividade caia pela metade. - (d) Determinar o tempo
para que a resistividade atinja . - (e) Para que valor a resistividade tende quando
? - (f) Comparar a agressividade da contaminação entre a amostra de teste
e a amostra mencionada no enunciado. Observação importante: o enunciado pergunta “que na amostra M3”, porém só foi dada explicitamente a função da amostra M1. Vou assumir que a comparação desejada é entre e a amostra M1 (a não ser que você confirme que há uma M3 diferente — nesse caso a comparação precisa dos dados de M3).
Passo 2
Resposta ao item (a): resistividade inicial
.
Explicação didática curta: quando se avalia uma função no instante inicial, basta substituir
. Lembre que
porque a exponencial de zero é sempre 1 (essa é uma propriedade básica da função exponencial).
Cálculo:
Passo 3
Resposta ao item (b): resistividade na semana 5.
Explicação didática: para obter o valor em um tempo específico, substitui-se
pelo número pedido. Não precisamos calcular o valor numérico aproximado se o enunciado pede a forma "em função de
".
Cálculo:
Portanto a expressão exata é
.
Passo 4
Resposta ao item (c): tempo para a resistividade cair pela metade.
Explicação didática: “cair pela metade” significa
. Para resolver equações exponenciais do tipo
usamos logaritmo natural
, que é a função inversa da exponencial
. Propriedades úteis:
-
. -
. -
.
Cálculo passo a passo:
Começamos com
Começamos com
Dividindo ambos os lados por
,
Aplicando
nos dois lados,
Mas
. Substituindo e isolando
,
O enunciado permite usar
. Assim
Observação conceitual: para uma exponencial decrescente
a “meia-vida” (tempo para cair pela metade) é
. Aqui
.
Passo 5
Resposta ao item (d): tempo para
.
Explicação didática: seguimos o mesmo procedimento de resolver uma equação exponencial.
Cálculo direto:
Dividindo por
,
Aplicando
,
Logo
Usando
,
Observação alternativa (intuitiva): ir de
para
é reduzir a um quarto, ou seja passar por duas “meias-vidas”:
, então
semanas.
Passo 6
Resposta ao item (e): comportamento quando
.
Explicação didática: para qualquer constante positiva
,
porque o expoente tende a
e a exponencial de um número muito negativo é praticamente zero. Assim, multiplicando por
o limite também é zero.
Portanto
Interpretação física: sob exposição severa contínua, segundo este modelo a resistividade tende a zero (declínio contínuo sem limite inferior positivo no modelo).
Passo 7
Resposta ao item (f): comparar a agressividade entre
e a amostra M1 (
). (Reafirmando: estou assumindo que a comparação é com M1, pois M3 não foi fornecida.)
Explicação didática: para funções da forma
, o parâmetro
controla a rapidez da queda: quanto maior
, mais rápido decai a função (mais agressiva a perda). Outra forma de comparar é calcular a meia-vida
: menor meia-vida = decaimento mais rápido.
Cálculo das meias-vidas:
- Para M1:
, então - Para a amostra de teste:
, então
Conclusão: como
e a meia-vida da amostra de teste (
semanas) é menor que a de M1 (
semanas), a contaminação na amostra de teste avança de forma mais agressiva (isto é, a resistividade decai mais rápido) do que na amostra M1. Se de fato a comparação fosse com uma “M3” diferente, seria necessário conhecer a constante de decaimento dessa M3 para responder; sem esse dado não dá para comparar com M3.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Mais agressiva — a amostra de teste decai mais rápido (
); meia-vida
semanas (teste) vs
semanas (M1).