Para cada uma das funções trigonométricas abaixo, determine: (1) O valor máximo, (2) O valor mínimo, e (3) O período de oscilação completo da onda.
r(x)=\frac{1}{2} \sin (4 x)-3

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a função
r(x)=\frac{1}{2}\sin(4x)-3.
As perguntas são:
  • (1) Qual é o valor máximo de r(x)?
  • (2) Qual é o valor mínimo de r(x)?
  • (3) Qual é o período de oscilação completo da onda r(x)?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Há um fator multiplicativo da função seno: \tfrac{1}{2} multiplicando \sin(4x).
  • Há uma subtração constante: -3 (deslocamento vertical).
  • O argumento do seno é 4x, ou seja, há uma compressão horizontal pelo fator 4.

Passo 2

Entendendo como obter máximos e mínimos de funções do tipo A\sin(Bx)+C.
Mini-aula (intuição simples e prática):
  • A função básica \sin(t) tem alcance (intervalo de valores) \sin(t)\in[-1,1]. Isto é uma propriedade fundamental do seno.
  • Se multiplicamos por um número A (amplitude), os valores ficam em [ -|A|,\,|A| ]. Ou seja, A\sin(t)\in[-|A|,|A|].
  • Se somamos (ou subtraímos) uma constante C (deslocamento vertical), o intervalo desloca-se por C: A\sin(t)+C \in [C-|A|,\,C+|A|].
  • Quanto ao período: a função \sin(t) tem período 2\pi. Para \sin(Bx), cada volta completa ocorre quando o argumento avança 2\pi, ou seja, Bx aumenta em 2\pi. Assim o período T satisfaz B\,T=2\pi, logo
T=\frac{2\pi}{|B|}.
Isso é a receita que vou aplicar em seguida. Sempre que vir A\sin(Bx)+C, identifique A (amplitude absoluta), B (fator que altera o período) e C (deslocamento vertical).

Passo 3

Aplicando a receita para encontrar máximo e mínimo.
Na função dada, identifique:
A=\frac{1}{2},\qquad B=4,\qquad C=-3.
Pelo que vimos:
  • \sin(4x) \in [-1,1].
  • Multiplicando por A=\tfrac{1}{2}
\frac{1}{2}\sin(4x)\in\left[-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right].
  • Subtraindo 3 (ou seja, somando C=-3) desloca o intervalo por -3, então
r(x)=\frac{1}{2}\sin(4x)-3 \in \left[-3-\frac{1}{2},\,-3+\frac{1}{2}\right].
Calcule as somas:
-3-\frac{1}{2}=-\frac{7}{2},\qquad -3+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}.
Assim os valores extremos (alcance) da função são os elementos desse intervalo.

Passo 4

Explicando e calculando o período.
Usando a fórmula do período para \sin(Bx):
T=\frac{2\pi}{|B|}.
Aqui B=4, portanto
T=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.
Isto significa que a função repete seu padrão completo toda vez que x aumenta em \tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

(Extra — onde ocorrem os máximos e mínimos; útil para a prova)
  • Máximos ocorrem quando \sin(4x)=1. Isso sucede quando 4x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}. Logo
x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Nesses pontos r(x)=-\tfrac{5}{2}.
  • Mínimos ocorrem quando \sin(4x)=-1. Isso sucede quando 4x=\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi, logo
x=\frac{3\pi}{8}+k\frac{\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Nesses pontos r(x)=-\tfrac{7}{2}.
Dica de prova: na hora da prova, em vez de tentar derivar ou avaliar muitos pontos, use a propriedade do seno e identifique A,B,C — isso resolve máximo, mínimo e período direto e rápido.

Resposta

Valor máximo: -\tfrac{5}{2}
Valor mínimo: -\tfrac{7}{2}
Período: \dfrac{\pi}{2}

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