Para cada uma das funções trigonométricas abaixo, determine: (1) O valor máximo, (2) O valor mínimo, e (3) O período de oscilação completo da onda.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a função
As perguntas são:
- (1) Qual é o valor máximo de
? - (2) Qual é o valor mínimo de
? - (3) Qual é o período de oscilação completo da onda
?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Há um fator multiplicativo da função seno:
multiplicando . - Há uma subtração constante:
(deslocamento vertical). - O argumento do seno é
, ou seja, há uma compressão horizontal pelo fator .
Passo 2
Entendendo como obter máximos e mínimos de funções do tipo
.
Mini-aula (intuição simples e prática):
- A função básica
tem alcance (intervalo de valores) . Isto é uma propriedade fundamental do seno. - Se multiplicamos por um número
(amplitude), os valores ficam em . Ou seja, . - Se somamos (ou subtraímos) uma constante
(deslocamento vertical), o intervalo desloca-se por : . - Quanto ao período: a função
tem período . Para , cada volta completa ocorre quando o argumento avança , ou seja, aumenta em . Assim o período satisfaz , logo
Isso é a receita que vou aplicar em seguida. Sempre que vir
, identifique
(amplitude absoluta),
(fator que altera o período) e
(deslocamento vertical).
Passo 3
Aplicando a receita para encontrar máximo e mínimo.
Na função dada, identifique:
Pelo que vimos:
-
. - Multiplicando por
dá
- Subtraindo
(ou seja, somando ) desloca o intervalo por , então
Calcule as somas:
Assim os valores extremos (alcance) da função são os elementos desse intervalo.
Passo 4
Explicando e calculando o período.
Usando a fórmula do período para
:
Aqui
, portanto
Isto significa que a função repete seu padrão completo toda vez que
aumenta em
.
Passo 5
(Extra — onde ocorrem os máximos e mínimos; útil para a prova)
- Máximos ocorrem quando
. Isso sucede quando , . Logo
Nesses pontos
.
- Mínimos ocorrem quando
. Isso sucede quando , logo
Nesses pontos
.
Dica de prova: na hora da prova, em vez de tentar derivar ou avaliar muitos pontos, use a propriedade do seno e identifique
— isso resolve máximo, mínimo e período direto e rápido.
Resposta
Valor máximo:
Valor mínimo:
Período:
Valor mínimo:
Período: