Estudando o capítulo 2, o aluno é introduzido ao conceito de campo elétrico gerado por uma fonte de partículas carregadas e por uma distribuição de densidade de carga elétrica (linear, superficial e volumétrica). No caso de uma distribuição de carga elétrica, o aluno aprende que o vetor campo elétrico resultante é obtido por uma integração sobre toda a densidade de carga distribuída ao longo da fonte contínua. A lista visa melhorar e reforçar esses conceitos.
Exercício 4:
Uma esfera não condutora sólida de raio R tem densidade de carga constante \rho_{0}.
a) Calcule o campo elétrico no eixo z para z>R.
b) Adquirindo outra esfera semelhante. Colocamos o centro desta nova esfera a uma distância d do centro da outra, ambas apresentam o mesmo plano equatorial. Considerando que uma esfera não perturbe a outra de modo preocupante. Qual será o campo elétrico no mesmo ponto de a) agora?

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera não condutora de raio R com densidade volumétrica uniforme \rho_{0}.
a) Pede o campo elétrico no eixo z para pontos com z>R.
b) Introduz uma segunda esfera idêntica, com centro deslocado em distância d no plano equatorial (ou seja, ambas têm o plano z=0 passando pelo centro) e pede o campo no mesmo ponto da alínea (a), supondo que não há sobreposição de cargas.

Passo 2

Primeiro lembramos que a carga total da esfera é
Q = \rho_{0} \times \text{volume da esfera} = \rho_{0}\,\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Para z>R, um ponto no eixo z está todo fora da distribuição. Pelo Teorema de Gauss, o campo se comporta como se toda essa carga estivesse concentrada no centro.

Passo 3

Logo, a contribuição da primeira esfera no ponto (0,0,z) é
\vec E_{1}(z) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{z^{2}}\;\hat k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{\rho_{0}\,\frac{4}{3}\pi R^{3}}{z^{2}}\;\hat k = \frac{\rho_{0}R^{3}}{3\varepsilon_{0}}\;\frac{1}{z^{2}}\;\hat k.

Passo 4

Para a segunda esfera, cujo centro fica em (d,0,0), o ponto (0,0,z) também está fora da esfera (pois \sqrt{d^{2}+z^{2}}>R). Então ela também age como carga pontual Q. O vetor que vai do centro da segunda esfera até o ponto é
\vec r_{2} = (0,0,z) - (d,0,0) = (-d)\,\hat i + z\,\hat k,
com módulo
r_{2} = \sqrt{d^{2} + z^{2}}.
Pelo princípio da superposição, o campo devido a essa carga é
\vec E_{2}(z) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{r_{2}^{3}}\;\vec r_{2} = \frac{\rho_{0}\,\frac{4}{3}\pi R^{3}}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{-d\,\hat i + z\,\hat k}{\bigl(d^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}} = \frac{\rho_{0}R^{3}}{3\varepsilon_{0}}\;\frac{-d\,\hat i + z\,\hat k}{\bigl(d^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 5

Somando as duas contribuições, o campo total em (0,0,z) é
\vec E(z) = \vec E_{1}(z) + \vec E_{2}(z) = \frac{\rho_{0}R^{3}}{3\varepsilon_{0}} \Biggl[ \frac{1}{z^{2}}\;\hat k \;+\; \frac{-d\,\hat i + z\,\hat k}{\bigl(d^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}} \Biggr].

Resposta

a)
\vec E(z)=\frac{\rho_{0}R^{3}}{3\varepsilon_{0}}\;\frac{1}{z^{2}}\;\hat k, \quad z>R.
b)
\vec E(z) =\frac{\rho_{0}R^{3}}{3\varepsilon_{0}} \Biggl[ \frac{1}{z^{2}}\;\hat k \;+\; \frac{-d\,\hat i + z\,\hat k}{\bigl(d^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}} \Biggr].

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