Estudando o capítulo 2, o aluno é introduzido ao conceito de campo elétrico gerado por uma fonte de partículas carregadas e por uma distribuição de densidade de carga elétrica (linear, superficial e volumétrica). No caso de uma distribuição de carga elétrica, o aluno aprende que o vetor campo elétrico resultante é obtido por uma integração sobre toda a densidade de carga distribuída ao longo da fonte contínua. A lista visa melhorar e reforçar esses conceitos.
Exercício 8:
Considere um plano infinito em x y e z=0 com uma densidade de carga superfícial \sigma_{0} constante e positiva. Calcule o campo elétrico do plano para z>0 e z<0.
a) O que muda se \sigma_{0} for negativo?
b) Mantendo o plano z=0 com densidade positiva. Colocando um outro plano de mesma densidade superficial em z=a. Qual será o campo elétrico em z<0,0<z<a e z>a ?
c) Se o plano em z=a tiver densidade negativa qual será os campo elétrico nas três regiões?

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico de um plano infinito em z=0 com densidade superficial \sigma_{0} constante, primeiro para z>0 e z<0. Depois pergunta:
a) como muda se \sigma_{0} for negativa?
b) com um segundo plano em z=a também com densidade +\sigma_{0}, qual é o campo em z<0, 0<z<a e z>a?
c) mesma situação do item (b) mas com o segundo plano de densidade -\sigma_{0}.
Para resolver vamos usar a Lei de Gauss e depois superposição de campos.

Passo 2

Aplicamos Gauss a um plano infinito com densidade \sigma_{0}.
Escolhemos uma superfície gaussiana “bolha” cilíndrica (pincel) de área A nas tampas paralelas ao plano e faces externas a igual distância de cada lado.
Pela simetria, o campo tem módulo constante nas faces e é perpendicular ao plano.
A Lei de Gauss dá
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E\cdot A + E\cdot A = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma_{0}A}{\varepsilon_{0}}.
Logo
E = \frac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}.

Passo 3

Definindo \hat{\mathbf{z}} como o versor positivo em z:
– Para \sigma_{0}>0, o campo sai do plano, ou seja
\mathbf{E}(z>0) = +\frac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\,\hat{\mathbf{z}}, \qquad \mathbf{E}(z<0) = -\frac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\,\hat{\mathbf{z}}.

Passo 4

(a) Se \sigma_{0} for negativa, mantém-se o módulo \bigl|\sigma_{0}\bigr|/(2\varepsilon_{0}), mas o campo inverte de sentido, pois agora as linhas vão em direção ao plano.

Passo 5

(b) Agora temos dois planos infinitos de densidade +\sigma_{0}, um em z=0 e outro em z=a. Pelo princípio da superposição, somamos os campos de cada um:
– Região z<0:
  • Plano em z=0 gera -\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}.
  • Plano em z=a gera também campo para baixo em toda região abaixo dele, igual a -\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}.
    Soma:
    \mathbf{E} = -\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}.
– Região 0<z<a:
  • Plano em z=0 gera +\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}.
  • Plano em z=a (para pontos abaixo de a) gera -\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}.
    Soma:
    \mathbf{E} = \mathbf{0}. – Região z>a:
  • Plano em z=0 gera +\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}.
  • Plano em z=a gera +\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}} (pois em cima dele o campo sai).
    Soma:
    \mathbf{E} = +\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}.

Passo 6

(c) Agora o plano em z=a tem densidade -\sigma_{0}. Repetimos a superposição:
– Região z<0:
  • Plano em z=0: -\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}.
  • Plano em z=a (negativo, para z<0 está abaixo dele) atrai para cima: +\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}.
    Soma: \mathbf{0}. – Região 0<z<a:
  • Plano em z=0: +\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}.
  • Plano em z=a (negativo, para z<a está abaixo dele) atrai para cima: +\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}.
    Soma:
    \mathbf{E} = +\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}. – Região z>a:
  • Plano em z=0: +\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}.
  • Plano em z=a (negativo, para z>a está acima dele) atrai para baixo: -\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}.
    Soma: \mathbf{0}.

Resposta

(a) Campo inverte de direção, mantendo o módulo \displaystyle\frac{|\sigma_{0}|}{2\varepsilon_{0}}.
(b) Para dois planos com \sigma_{0}>0:
\mathbf{E}(z<0) = -\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}, \quad \mathbf{E}(0<z<a) = \mathbf{0}, \quad \mathbf{E}(z>a) = +\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}.
(c) Plano em z=0 com +\sigma_{0} e em z=a com -\sigma_{0}:
\mathbf{E}(z<0) = \mathbf{0}, \quad \mathbf{E}(0<z<a) = +\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}}, \quad \mathbf{E}(z>a) = \mathbf{0}.

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