Estudando o capítulo 2, o aluno é introduzido ao conceito de campo elétrico gerado por uma fonte de partículas carregadas e por uma distribuição de densidade de carga elétrica (linear, superficial e volumétrica). No caso de uma distribuição de carga elétrica, o aluno aprende que o vetor campo elétrico resultante é obtido por uma integração sobre toda a densidade de carga distribuída ao longo da fonte contínua. A lista visa melhorar e reforçar esses conceitos.
Exercício 10:
Um dipolo com uma distância de separação d está alinhado com o eixo y em um plano x y. Assumindo que o momento do dipolo tem o sentido positivo do eixo y. Mostre que para x e y muito maiores que d as componentes do campo elétrico gerado pelo dipolo serão
E_{x}=\frac{3 k|\vec{p}| x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{5 / 2}}, \quad E_{y}=\frac{k|\vec{p}|\left(2 y^{2}-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{5 / 2}} .
Mostre que este resultado geral inclui os resultados especiais obtidos na seção 23.6 para x \gg d / 2 \operatorname{com} y=0 e y \gg d / 2 \operatorname{com} x=0.

Passo 1

O enunciado descreve um dipolo elétrico formado por duas cargas pontuais ± q separadas por uma distância d ao longo do eixo y, com momento elétrico \vec p=q\,d\,\hat y. Queremos calcular o campo elétrico resultante em um ponto genérico (x,y) no plano, sob a hipótese de que x,y\gg d. Para isso, somamos os campos de Coulomb das duas cargas e expandimos em série de Taylor até ordem linear em d, usando p=q\,d.

Passo 2

Chamando \vec r_{+}=(x,\,y-\tfrac{d}{2})
e \vec r_{-}=(x,\,y+\tfrac{d}{2}),
o campo total é
\vec E \;=\; kq\,\frac{\vec r_{+}}{|\vec r_{+}|^{3}} \;-\; kq\,\frac{\vec r_{-}}{|\vec r_{-}|^{3}}.
Definindo \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e usando a expansão
|\vec r_{\pm}|=\rho\Bigl(1\mp\frac{y\,d}{2\rho^{2}}+O(d^{2})\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{|\vec r_{\pm}|^{3}} =\frac{1}{\rho^{3}}\Bigl(1\pm\frac{3y\,d}{2\rho^{2}}+O(d^{2})\Bigr),
mantemos apenas termos lineares em d. Substituindo e agrupando em q\,d=p obtém-se diretamente a forma vetorial do campo de dipolo.

Passo 3

A forma padrão do campo de um dipolo em regime de distâncias grandes é
\vec E(\vec r) =\frac{k\,p}{r^{3}}\Bigl(3(\hat p\!\cdot\!\hat r)\,\hat r-\hat p\Bigr),
onde aqui \hat p=\hat y, \hat r=(x\,\hat x+y\,\hat y)/\rho e r=\rho. Logo
\vec E =\frac{k\,p}{\rho^{5}}\Bigl[\,3y\,(x\,\hat x+y\,\hat y)\;-\;(x^{2}+y^{2})\,\hat y\Bigr].
Projetando em x e y:
E_{x} =\frac{3k\,p\,x\,y}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{5/2}}
E_{y} =\frac{k\,p\,(2y^{2}-x^{2})}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{5/2}}.

Passo 4

Para recuperar os casos especiais de seção 23.6, basta pôr y=0 ou x=0:
quando y=0 e x\gg d:
E_{x}=0
E_{y}=-\frac{k\,p}{x^{3}},
que é o campo no eixo do dipolo a longa distância;
quando x=0 e y\gg d:
E_{x}=0
E_{y}=\frac{2k\,p}{y^{3}},
que coincide com o campo no eixo perpendicular ao dipolo.

Resposta

E_{x}=\frac{3k\,p\,x\,y}{(x^{2}+y^{2})^{5/2}}, \quad E_{y}=\frac{k\,p\,(2y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{5/2}}.
Para y=0:
E_{x}=0, \quad E_{y}=-\frac{k\,p}{x^{3}}.
Para x=0:
E_{x}=0, \quad E_{y}=\frac{2k\,p}{y^{3}}.

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