Estudando o capítulo 2, o aluno é introduzido ao conceito de campo elétrico gerado por uma fonte de partículas carregadas e por uma distribuição de densidade de carga elétrica (linear, superficial e volumétrica). No caso de uma distribuição de carga elétrica, o aluno aprende que o vetor campo elétrico resultante é obtido por uma integração sobre toda a densidade de carga distribuída ao longo da fonte contínua. A lista visa melhorar e reforçar esses conceitos.
Exercício 10:
Um dipolo com uma distância de separação
está alinhado com o eixo
em um plano
. Assumindo que o momento do dipolo tem o sentido positivo do eixo
. Mostre que para
e
muito maiores que
as componentes do campo elétrico gerado pelo dipolo serão
Mostre que este resultado geral inclui os resultados especiais obtidos na seção 23.6 para
e
.
Exercício 10:
Passo 1
O enunciado descreve um dipolo elétrico formado por duas cargas pontuais ±
separadas por uma distância
ao longo do eixo
, com momento elétrico
. Queremos calcular o campo elétrico resultante em um ponto genérico
no plano, sob a hipótese de que
. Para isso, somamos os campos de Coulomb das duas cargas e expandimos em série de Taylor até ordem linear em
, usando
.
Passo 2
Chamando
e ,
o campo total é
e
o campo total é
Definindo
e usando a expansão
mantemos apenas termos lineares em
. Substituindo e agrupando em
obtém-se diretamente a forma vetorial do campo de dipolo.
Passo 3
A forma padrão do campo de um dipolo em regime de distâncias grandes é
onde aqui
,
e
. Logo
Projetando em
e
:
Passo 4
Para recuperar os casos especiais de seção 23.6, basta pôr
ou
:
quando
e
:
que é o campo no eixo do dipolo a longa distância;
quando
e
:
que coincide com o campo no eixo perpendicular ao dipolo.
Resposta
Para
:
Para
: