Um estudante apresentou a seguinte resolução para o problema abaixo. Avalie cada passo, de forma independente um do outro, com correto ou incorreto. Caso incorreto, indique qual foi o erro.
Problema: Um tanque esférico de água com raio de 2 metros está sendo enchido a uma taxa constante de 0,5 \mathrm{m}^{3} / \mathrm{min}. A altura da água no tanque, medida a partir da base, é denotada por h (em metros). Sabendo que o volume de água no tanque é dado pela fórmula V=\pi h^{2}\left(\frac{6-h}{3}\right), determine a taxa de variação da altura da água em relação ao tempo quando a altura da água é 1 metro.
Resolução:
Passo 1: O volume V do tanque está em função de h e h está em função de t. Portanto, a derivada de V em relação ao tempo trata-se de uma regra da cadeia: \frac{d V}{d t}=\frac{d V}{d h} \cdot \frac{d h}{d t}.
Passo 2: Temos \frac{d V}{d t}=0,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}, enquanto que \frac{d h}{d t} é o que foi pedido no enunciado. Portanto, precisamos calcular \frac{d V}{d h}=\frac{d}{d h}\left(\pi h^{2}\left(\frac{6-h}{3}\right)\right).
Passo 3: Calculando, temos \frac{d V}{d h}=2 \pi h\left(\frac{6-h}{3}\right) + \pi h^{2}\left(\frac{-1}{3}\right).
Passo 4: Substituindo na regra da cadeia, temos 0,5=\left(2 \pi h\left(\frac{6-h}{3}\right) + \pi h^{2}\left(\frac{-1}{3}\right)\right) \cdot \frac{d h}{d t}.
Passo 5: Substituindo h=1 e concluindo os cálculos, \frac{d h}{d t}=\frac{3}{10\pi} \mathrm{~m} / \mathrm{min}.
Passo 1
Correto. A regra da cadeia é exatamente isso: quando V depende de h e h depende de t, a taxa de variação de V no tempo é o produto da derivada de V em relação a h pela derivada de h em relação a t. Symbolicamente,
\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}.
Observação didática curta: aqui \frac{dV}{dt} tem unidades de \mathrm{m}^{3}/\mathrm{min}, \frac{dV}{dh} tem unidades de \mathrm{m}^{2} e \frac{dh}{dt} fica em \mathrm{m}/\mathrm{min}, o que faz sentido dimensionalmente.
Passo 2
Correto. O enunciado dá \frac{dV}{dt}=0,5\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{min} (usei vírgula conforme o enunciado) e pede \frac{dh}{dt}, então realmente precisamos calcular \frac{dV}{dh} a partir de
V=\pi h^{2}\left(\frac{6-h}{3}\right).
Uma observação prática: pode ser conveniente simplificar antes para \displaystyle V=\frac{\pi}{3}(6h^{2}-h^{3}) para derivar mais direto, mas não é obrigatório.
Passo 3
Correto. Usando produto ou derivando a forma simplificada obtemos:
partindo de \displaystyle V=\frac{\pi}{3}(6h^{2}-h^{3}),
ou, de forma mais simples usando o resultado do passo anterior,
0,5=\pi\bigl(4h-h^{2}\bigr)\cdot\frac{dh}{dt}.
Passo 5
Incorreto. Erro: houve um equívoco aritmético ao avaliar \frac{dV}{dh} em h=1 ou ao isolar \frac{dh}{dt}. Avaliando corretamente:
primeiro calcule \frac{dV}{dh} em h=1:
O estudante afirmou \displaystyle \frac{dh}{dt}=\frac{3}{10\pi}, que seria o resultado de \frac{0,5}{5\pi/3}; isso não corresponde ao valor correto 3\pi do denominador — portanto o erro é numérico/aritmético ao somar ou simplificar os termos ao substituir h=1.