Verifique se a função
, é solução da EDO:
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se a função
é solução da equação diferencial ordinária
Informações dadas: a expressão explícita de
. A tarefa é calcular
, substituir na equação
e checar se o resultado é identicamente zero (para todo
).
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (aquelas que aparecem sempre nas provas):
- Regra da cadeia: se
é função de , então e . - Aplicando essa regra ao caso
(com constante), obtemos as fórmulas práticas:
Vou aplicar essas fórmulas terminho a terminho na função
.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
. Começo derivando cada parcela de
:
- Para
: use , logo
- Para
: use , então
Somando as partes:
Passo 4
Calcular a segunda derivada
. Derivo
termo a termo:
- Para
: , então
- Para
: , então
Somando:
Passo 5
Substituir
e
na expressão
e simplificar:
Calculo o segundo termo:
Agora subtrai:
Agrupando termos semelhantes:
Fatorando
:
Observação útil: como
, temos
Logo
não é zero em geral; na verdade
.
Passo 6
Interpretando o resultado: para a função dada vale
, ou seja
. Portanto a função satisfaz a EDO
, mas não satisfaz
(a menos de casos triviais em pontos onde
, mas isso não significa solução da equação homogênea para todo
).
Resposta
Não. Substituindo obtém-se
, que não é identicamente zero, logo
não é solução de
.