Verifique se a função y(x)=3 \operatorname{sen}(2 x)-\cos (2 x), é solução da EDO:
y^{\prime \prime}-4 y=0

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se a função y(x)=3\operatorname{sen}(2x)-\cos(2x) é solução da equação diferencial ordinária
y''-4y=0.
Informações dadas: a expressão explícita de y(x). A tarefa é calcular y'', substituir na equação y''-4y e checar se o resultado é identicamente zero (para todo x).

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (aquelas que aparecem sempre nas provas):
  • Regra da cadeia: se u(x) é função de x, então \dfrac{d}{dx}\sin(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x) e \dfrac{d}{dx}\cos(u(x))=-\sin(u(x))\cdot u'(x).
  • Aplicando essa regra ao caso u(x)=kx (com k constante), obtemos as fórmulas práticas:
\frac{d}{dx}\sin(kx)=k\cos(kx),\qquad \frac{d}{dx}\cos(kx)=-k\sin(kx).
Vou aplicar essas fórmulas terminho a terminho na função y(x).

Passo 3

Calcular a primeira derivada y'(x). Começo derivando cada parcela de y:
  • Para 3\sin(2x): use \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x), logo
\frac{d}{dx}\big(3\sin(2x)\big)=3\cdot 2\cos(2x)=6\cos(2x).
  • Para -\cos(2x): use \dfrac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x), então
\frac{d}{dx}\big(-\cos(2x)\big)=-\big(-2\sin(2x)\big)=2\sin(2x).
Somando as partes:
y'(x)=6\cos(2x)+2\sin(2x).

Passo 4

Calcular a segunda derivada y''(x). Derivo y'(x) termo a termo:
  • Para 6\cos(2x): \dfrac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x), então
\frac{d}{dx}\big(6\cos(2x)\big)=6\cdot(-2\sin(2x))=-12\sin(2x).
  • Para 2\sin(2x): \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x), então
\frac{d}{dx}\big(2\sin(2x)\big)=2\cdot 2\cos(2x)=4\cos(2x).
Somando:
y''(x)=-12\sin(2x)+4\cos(2x).

Passo 5

Substituir y e y'' na expressão y''-4y e simplificar:
y''-4y = \big(-12\sin(2x)+4\cos(2x)\big)-4\big(3\sin(2x)-\cos(2x)\big).
Calculo o segundo termo:
4\big(3\sin(2x)-\cos(2x)\big)=12\sin(2x)-4\cos(2x).
Agora subtrai:
y''-4y = \big(-12\sin(2x)+4\cos(2x)\big)-\big(12\sin(2x)-4\cos(2x)\big).
Agrupando termos semelhantes:
y''-4y = -12\sin(2x)+4\cos(2x)-12\sin(2x)+4\cos(2x)=-24\sin(2x)+8\cos(2x).
Fatorando 8:
y''-4y = 8\big(\cos(2x)-3\sin(2x)\big).
Observação útil: como y(x)=3\sin(2x)-\cos(2x), temos
y''-4y = -8\big(3\sin(2x)-\cos(2x)\big)=-8y(x).
Logo y''-4y não é zero em geral; na verdade y''-4y=-8y.

Passo 6

Interpretando o resultado: para a função dada vale y''=-4y, ou seja y''+4y=0. Portanto a função satisfaz a EDO y''+4y=0, mas não satisfaz y''-4y=0 (a menos de casos triviais em pontos onde y(x)=0, mas isso não significa solução da equação homogênea para todo x).

Resposta

Não. Substituindo obtém-se y''-4y=-8y, que não é identicamente zero, logo y(x)=3\operatorname{sen}(2x)-\cos(2x) não é solução de y''-4y=0.

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