A função gama é simbolizada por \Gamma(p) e se define pela integral
\Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{p} d x
Esta integral converge para todo p quando x \rightarrow \infty. Se p<0 a integral também é imprópria, pois o integrando fica ilimitado quando x \rightarrow 0. No entanto, pode-se mostrar que a integral converge em x=0 para p>-1. Consideremos a transformada de Laplace de t^{p}. onde p>-1. Mostre que
\mathcal{L}\left(t^{p}\right)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{p} d t=\frac{1}{s^{p+1}} \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{p} d x=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}, \quad s>0
(Sugestão: faça t=u / s na integral que define \mathcal{L}\left(t^{p}\right) ).

Passo 1

O enunciado pede que mostremos a fórmula da transformada de Laplace de t^{p} para p>-1:
\mathcal{L}\left(t^{p}\right)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{p} d t=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}},\quad s>0.
Informações e dados relevantes fornecidos:
  • A função Gama é dada por \Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{p} d x.
  • A transformada de Laplace que vamos calcular é \mathcal{L}\left(t^{p}\right)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{p} d t.
  • Foi sugerido usar a mudança de variável t = u/s.
  • Condições de validade: p>-1 (para convergência em t\to0) e precisamos de s>0 (para convergência em t\to\infty).

Passo 2

Lembrando o que cada símbolo significa e por que precisamos das hipóteses:
  • \mathcal{L}\left(t^{p}\right) é a transformada de Laplace da função f(t)=t^{p}. Por definição é a integral imprópria \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{p} d t.
  • \Gamma(p+1) é a integral \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{p} d x. Note que a variável de integração é apenas um símbolo; trocar x por u não altera o valor.
  • Por que p>-1? Porque perto de t=0 a função t^{p} comporta-se como t^{p} e \int_{0}^{1} t^{p} dt converge exatamente quando p>-1. De fato,
\int_{0}^{1} t^{p} dt=\left[\frac{t^{p+1}}{p+1}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{p+1}\quad\text{se }p>-1.
  • Por que s>0? Porque para t\to\infty o fator e^{-st} fornece decaimento exponencial que domina o crescimento polinomial t^{p}, garantindo convergência quando s>0.

Passo 3

Escrevemos a integral da transformada de Laplace que queremos calcular:
\mathcal{L}\left(t^{p}\right)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{p} d t.
A ideia é transformar essa integral numa forma que contenha \int_{0}^{\infty} e^{-u} u^{p} du, que é exatamente \Gamma(p+1).

Passo 4

Fazemos a substituição sugerida: tomamos
t=\frac{u}{s}.
Calculamos o diferencial: como t=u/s, temos
d t=\frac{d u}{s}.
Agora os limites: quando t varia de 0 a \infty, u=s t também varia de 0 a \infty. Logo os limites permanecem 0 a \infty.

Passo 5

Substituímos t=\dfrac{u}{s} na integral e fazemos as simplificações passo a passo:
  • e^{-s t}=e^{-s(u/s)}=e^{-u}.
  • t^{p}=\left(\dfrac{u}{s}\right)^{p}=\dfrac{u^{p}}{s^{p}}.
  • d t=\dfrac{d u}{s}.
Assim o integrando se torna
e^{-s t} t^{p} d t = e^{-u}\,\frac{u^{p}}{s^{p}}\,\frac{d u}{s}= \frac{1}{s^{p+1}}\, e^{-u} u^{p} d u.

Passo 6

Colocando isso dentro da integral obtemos
\mathcal{L}\left(t^{p}\right)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{p} d t = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{s^{p+1}}\, e^{-u} u^{p} d u.
Como \dfrac{1}{s^{p+1}} é constante em relação a u, podemos tirá-la da integral:
\mathcal{L}\left(t^{p}\right)=\frac{1}{s^{p+1}} \int_{0}^{\infty} e^{-u} u^{p} d u.

Passo 7

Reconhecemos a integral que ficou como a definição da função Gama (trocar o nome da variável de integração não altera o valor):
\int_{0}^{\infty} e^{-u} u^{p} d u = \Gamma(p+1).
Portanto
\mathcal{L}\left(t^{p}\right)=\frac{1}{s^{p+1}}\,\Gamma(p+1).

Passo 8

Comentários finais e checagens rápidas (úteis na prova):
  • Condições: a dedução acima é válida para p>-1 (para integrabilidade em 0) e s>0 (para integrabilidade em \infty). Para s\le 0 a integral diverge.
  • Caso especial: se p=n é inteiro não-negativo, \Gamma(n+1)=n!. Assim obtemos a conhecida fórmula
\mathcal{L}\left(t^{n}\right)=\frac{n!}{s^{n+1}},
o que permite checar por casos simples: por exemplo, para n=0 \mathcal{L}(1)=1/s, para n=1 \mathcal{L}(t)=1/s^{2}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\left(t^{p}\right)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}},\quad s>0

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