A função gama é simbolizada por
e se define pela integral
Esta integral converge para todo
quando
. Se
a integral também é imprópria, pois o integrando fica ilimitado quando
. No entanto, pode-se mostrar que a integral converge em
para
. Consideremos a transformada de Laplace de
. onde
. Mostre que
(Sugestão: faça
na integral que define
).
Passo 1
O enunciado pede que mostremos a fórmula da transformada de Laplace de
para
:
Informações e dados relevantes fornecidos:
- A função Gama é dada por
. - A transformada de Laplace que vamos calcular é
. - Foi sugerido usar a mudança de variável
. - Condições de validade:
(para convergência em ) e precisamos de (para convergência em ).
Passo 2
Lembrando o que cada símbolo significa e por que precisamos das hipóteses:
-
é a transformada de Laplace da função . Por definição é a integral imprópria . -
é a integral . Note que a variável de integração é apenas um símbolo; trocar por não altera o valor. - Por que
? Porque perto de a função comporta-se como e converge exatamente quando . De fato,
- Por que
? Porque para o fator fornece decaimento exponencial que domina o crescimento polinomial , garantindo convergência quando .
Passo 3
Escrevemos a integral da transformada de Laplace que queremos calcular:
A ideia é transformar essa integral numa forma que contenha
, que é exatamente
.
Passo 4
Fazemos a substituição sugerida: tomamos
Calculamos o diferencial: como
, temos
Agora os limites: quando
varia de
a
,
também varia de
a
. Logo os limites permanecem
a
.
Passo 5
Substituímos
na integral e fazemos as simplificações passo a passo:
-
. -
. -
.
Assim o integrando se torna
Passo 6
Colocando isso dentro da integral obtemos
Como
é constante em relação a
, podemos tirá-la da integral:
Passo 7
Reconhecemos a integral que ficou como a definição da função Gama (trocar o nome da variável de integração não altera o valor):
Portanto
Passo 8
Comentários finais e checagens rápidas (úteis na prova):
- Condições: a dedução acima é válida para
(para integrabilidade em ) e (para integrabilidade em ). Para a integral diverge. - Caso especial: se
é inteiro não-negativo, . Assim obtemos a conhecida fórmula
o que permite checar por casos simples: por exemplo, para
dá
, para
dá
.