Um estudante de engenharia mecânica realizou experimentos nos quais variava a força resultante \mathbf{F} (em N : Newton - unidade de força) que atuava em um bloco e verificava a aceleração a ( \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} ) adquirida pelo mesmo, conforme apresentado na tabela a seguir. Determine coeficiente de correlação linear entre as variáveis.
Aceleração \left(\mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}\right) Força resultante (\mathrm{em} \mathrm{N})
1,5 2
3,1 4
3,8 6
5,8 8
6,3 10
8,5 12
10,2 14

Passo 1

O enunciado dá sete pares de observações de aceleração a (em \mathrm{m/s}^2) e força resultante F (em N) e pede o coeficiente de correlação linear entre essas variáveis. Para isso vamos usar a definição
r = \frac{S_{aF}}{\sqrt{S_{aa}\,S_{FF}}},
onde
S_{aF} = \sum_{i=1}^{n}(a_i-\bar a)(F_i-\bar F), \quad S_{aa} = \sum_{i=1}^{n}(a_i-\bar a)^2, \quad S_{FF} = \sum_{i=1}^{n}(F_i-\bar F)^2.

Passo 2

Calcular as médias \bar a e \bar F.
Somando as acelerações:
\sum a_i = 1{,}5 + 3{,}1 + 3{,}8 + 5{,}8 + 6{,}3 + 8{,}5 + 10{,}2 = 39{,}2,
logo
\bar a = \frac{39{,}2}{7} = 5{,}6.
Somando as forças:
\sum F_i = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 56,
logo
\bar F = \frac{56}{7} = 8.

Passo 3

Calcular S_{aF}=\sum (a_i-\bar a)(F_i-\bar F). Montando em tabela mental:
\begin{array}{c|c|c|c} i & a_i-\bar a & F_i-\bar F & (a_i-\bar a)(F_i-\bar F)\\hline 1 & -4{,}1 & -6 & 24{,}6\\\\ 2 & -2{,}5 & -4 & 10{,}0\\\\ 3 & -1{,}8 & -2 & \phantom{0}3{,}6\\\\ 4 & \phantom{-}0{,}2 & \phantom{-}0 & 0{,}0\\\\ 5 & \phantom{-}0{,}7 & \phantom{-}2 & 1{,}4\\\\ 6 & \phantom{-}2{,}9 & \phantom{-}4 & 11{,}6\\\\ 7 & \phantom{-}4{,}6 & \phantom{-}6 & 27{,}6\\hline & & & \displaystyle S_{aF}=78{,}8 \end{array}

Passo 4

Calcular S_{aa} e S_{FF}:
S_{aa} = \sum (a_i-\bar a)^2 = 16{,}81+6{,}25+3{,}24+0{,}04+0{,}49+8{,}41+21{,}16 = 56{,}40,
S_{FF} = \sum (F_i-\bar F)^2 = 36+16+4+0+4+16+36 = 112.

Passo 5

Aplicar a fórmula de correlação:
r = \frac{S_{aF}}{\sqrt{S_{aa}\,S_{FF}}} = \frac{78{,}8}{\sqrt{56{,}40 \times 112}} \approx \frac{78{,}8}{79{,}45} \approx 0{,}992.

Resposta

O coeficiente de correlação linear vale aproximadamente r = 0{,}992.

Exercícios relacionados