Um pesquisador dispõe das seguintes informações, a respeito dos valores de uma amostra de peças de motores de carros:
  • a média de todos os valores é igual a 50,34;
  • a soma dos quadrados dos valores é igual a 150.000;
  • a amostra é constituída de 52 valores distintos.
Pergunta-se:
Com essas informações é possível obter alguma(s) medida(s) de dispersão dos valores amostrais? Em caso afirmativo, efetue os cálculos e obtenha a(s) respectiva(s) medida(s).

Passo 1

O enunciado dá a média da amostra \overline x = 50{,}34,
a soma dos quadrados \displaystyle \sum_{i=1}^{52} x_i^2 = 150000
e o tamanho da amostra n=52.
Queremos calcular medidas de dispersão: variância e desvio-padrão.

Passo 2

Calcular a variância populacional usando a fórmula
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} \;-\;\overline x^2.
Substituindo n=52, \sum x_i^2=150000 e \overline x=50{,}34, temos
\sigma^2 = \frac{150000}{52} \;-\;(50{,}34)^2 = 2884{,}6154 \;-\;2534{,}1156 = 350{,}4998.

Passo 3

O desvio-padrão populacional é
\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{350{,}4998} \approx 18{,}72.

Passo 4

Calcular a variância amostral (Bessel) usando
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2}{n-1} = \frac{\sum x_i^2 \;-\; n\,\overline x^2}{n-1}.
Substituindo,
s^2 = \frac{150000 \;-\; 52\,(50{,}34)^2}{52-1} = \frac{150000 \;-\;131774{,}0112}{51} = \frac{18225{,}9888}{51} = 357{,}3725.

Passo 5

O desvio-padrão amostral é
s = \sqrt{s^2} = \sqrt{357{,}3725} \approx 18{,}91.

Resposta

Variância populacional \sigma^2 \approx 350{,}50
Desvio-padrão populacional \sigma \approx 18{,}72
Variância amostral s^2 \approx 357{,}37
Desvio-padrão amostral s \approx 18{,}91

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