Os dados abaixo se referem a medidas tomadas em uma amostra de 10 cães:
Cão 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Peso (kg) 23,0 22,7 21,2 21,5 17,0 28,4 19,0 14,5 19,0 19,5
Comprimento (cm) 104 105 103 105 100 104 100 91 102 99
Pede-se, para as características avaliadas, peso e comprimento, as estatísticas:
a) Média;
b) Mediana;
c) Moda;
d) Variância;
e) Desvio padrão;
f) Coeficiente de variação;
g) Qual das duas características é a mais homogênea?

Passo 1

Temos uma amostra de n=10 cães com duas características: peso (em kg) e comprimento (em cm). Vamos calcular para cada variável as seguintes estatísticas descritivas: média, mediana, moda, variância, desvio padrão e coeficiente de variação, e ao final comparar qual das duas é mais homogênea.

Passo 2

Calcular a média aritmética usando
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Para o peso x_i:
\sum x_i = 23,0 + 22,7 + 21,2 + 21,5 + 17,0 + 28,4 + 19,0 + 14,5 + 19,0 + 19,5 = 205,8
\bar x = \frac{205,8}{10} = 20,58\\ \mathrm{kg}.
Para o comprimento y_i:
\sum y_i = 104 + 105 + 103 + 105 + 100 + 104 + 100 + 91 + 102 + 99 = 1013
\bar y = \frac{1013}{10} = 101,3\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Calcular a mediana ordenando os dados e tomando a média dos 5.º e 6.º valores (pois n é par).
Pesos ordenados: 14,5; 17,0; 19,0; 19,0; 19,5; 21,2; 21,5; 22,7; 23,0; 28,4.
\mathrm{Mediana\\ do\\ peso} = \frac{19,5 + 21,2}{2} = 20,35\\ \mathrm{kg}.
Comprimentos ordenados: 91; 99; 100; 100; 102; 103; 104; 104; 105; 105.
\mathrm{Mediana\\ do\\ comprimento} = \frac{102 + 103}{2} = 102,5\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Determinar a moda como valor(es) que aparecem com maior frequência.
Para o peso: o valor 19,0 aparece 2 vezes e nenhum outro valor aparece mais, logo \mathrm{Moda}_{\text{peso}} = 19,0\\ \mathrm{kg}.
Para o comprimento: os valores 100, 104 e 105 aparecem cada um 2 vezes, sem nenhum valor com frequência superior, logo \mathrm{Moda}_{\text{comprimento}} = 100,\\\ 104,\\\ 105\\ \mathrm{cm} (multimodal).

Passo 5

Calcular a variância populacional usando
\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2.
Já somamos \sum(x_i-\bar x)^2 \approx 128,676 para o peso e \sum(y_i-\bar y)^2 \approx 160,10 para o comprimento.
\sigma^2_{\text{peso}} = \frac{128,676}{10} = 12,87\\ \mathrm{kg}^2,
\sigma^2_{\text{comprimento}} = \frac{160,10}{10} = 16,01\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 6

Calcular o desvio padrão como a raiz quadrada da variância:
\sigma_{\text{peso}} = \sqrt{12,87} \approx 3,59\\ \mathrm{kg},
\sigma_{\text{comprimento}} = \sqrt{16,01} \approx 4,00\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Calcular o coeficiente de variação em porcentagem:
\mathrm{CV} = \frac{\sigma}{\bar x}\times 100\%.
Para o peso:
\mathrm{CV}_{\text{peso}} = \frac{3,59}{20,58}\times 100\% \approx 17,43\%.
Para o comprimento:
\mathrm{CV}_{\text{comprimento}} = \frac{4,00}{101,3}\times 100\% \approx 3,95\%.

Passo 8

Comparando os coeficientes de variação, vemos que 3,95\% < 17,43\%. Assim, o comprimento é a característica mais homogênea.

Resposta

a) Média: \bar x_{\text{peso}} = 20,58\\ \mathrm{kg}, \bar y_{\text{comprimento}} = 101,3\\ \mathrm{cm}.
b) Mediana: 20,35\\ \mathrm{kg} e 102,5\\ \mathrm{cm}.
c) Moda: 19,0\\ \mathrm{kg}; 100,\\\ 104,\\\ 105\\ \mathrm{cm}.
d) Variância: 12,87\\ \mathrm{kg}^2 e 16,01\\ \mathrm{cm}^2.
e) Desvio padrão: 3,59\\ \mathrm{kg} e 4,00\\ \mathrm{cm}.
f) Coeficiente de variação: 17,43\% e 3,95\%.
g) O comprimento é mais homogêneo.

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