Um estudante faz uma prova de 4 questões, cada uma do tipo verdadeiro ou falso. Assuma que ele chute as respostas em cada questão. Defina: X1= número de acertos nas 2 primeiras questões; X2= número de acertos nas 2 últimas questões.
Calcule a probabilidade do aluno acertar pelo menos 3 questões.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um estudante que faz uma prova de 4 questões, cada uma com as opções verdadeiro ou falso. Ele decide chutar as respostas, ou seja, não tem certeza das respostas e escolhe aleatoriamente entre verdadeiro (V) ou falso (F). Queremos calcular a probabilidade de ele acertar pelo menos 3 questões.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial, que nos ajudam a calcular a chance de um evento acontecer um certo número de vezes em experimentos independentes. Precisamos entender como calcular combinações e aplicar a fórmula da probabilidade binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas maneiras o estudante pode acertar 3 ou 4 das 4 questões. Cada questão tem duas opções (V ou F), então o total de possíveis resultados é 2^4 = 16.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de ele acertar exatamente 3 questões. Para isso, usamos a combinação de 4 questões escolhendo 3 para serem corretas:
C(4, 3) = 4!3!(4-3)! = 4
A probabilidade de acertar uma questão é 0.5 e de errar é também 0.5. Então, a probabilidade de exatamente 3 acertos é:
P(3) = C(4, 3) times (0.5)^3 times (0.5)^1 = 4 times 0.125 times 0.5 = 0.25

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de ele acertar todas as 4 questões. Usamos a combinação de 4 questões escolhendo todas as 4 para serem corretas:
C(4, 4) = 4!4!(4-4)! = 1
A probabilidade de exatamente 4 acertos é:
P(4) = C(4, 4) times (0.5)^4 times (0.5)^0 = 1 times 0.0625 times 1 = 0.0625

Passo 5

Para encontrar a probabilidade de acertar pelo menos 3 questões, somamos as probabilidades de acertar exatamente 3 e exatamente 4 questões:
P(pelo menos 3) = P(3) + P(4) = 0.25 + 0.0625 = 0.3125

Resposta

A probabilidade do aluno acertar pelo menos 3 questões é de 31,25%.

Exercícios relacionados