Suponha que de um baralho sejam retiradas duas cartas, ao acaso e com reposição. Seja X a v.a. que representa o número de ases e seja Y a v.a. que representa o número de damas.
Obtenha as distribuições marginais de X e Y. Elas são conhecidas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre tirar duas cartas de um baralho, uma de cada vez, e depois de cada retirada, a carta volta pro baralho (isso é o que significa “com reposição”). Temos duas variáveis aleatórias aqui: X, que conta quantos ases a gente tirou, e Y, que conta quantas damas. O conteúdo que vamos usar aqui é de probabilidade, especificamente sobre distribuições marginais.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na probabilidade de tirar um ás em uma única retirada. Num baralho padrão, tem 4 ases e 52 cartas no total. Então, a chance de tirar um ás é:
P(ás) = 452 = 113 á
O mesmo vale para tirar uma dama:
P(dama) = 452 = 113

Passo 3

Como estamos fazendo duas retiradas com reposição, cada retirada é independente. Isso significa que a probabilidade de tirar um ás ou uma dama na segunda retirada não depende do que tiramos na primeira.

Passo 4

Vamos agora definir a variável aleatória X, que representa o número de ases em duas retiradas. Os possíveis valores para X são 0, 1 ou 2.
  • Para X = 0: Nenhum ás nas duas retiradas.
  • Para X = 1: Um ás em uma das retiradas.
  • Para X = 2: Dois ases nas duas retiradas.

Passo 5

Calculando as probabilidades de cada caso para X:
  • P(X = 0): Nenhum ás nas duas retiradas.
    P(X = 0) = (1 - 113)^2 = (1213)^2 = 144169
  • P(X = 1): Um ás em uma das retiradas.
    Existem duas formas de conseguir isso: ás na primeira e não na segunda, ou não na primeira e ás na segunda.
    P(X = 1) = 2 times 113 times 1213 = 24169
  • P(X = 2): Dois ases nas duas retiradas.
    P(X = 2) = (113)^2 = 1169

Passo 6

Então, a distribuição marginal de X é:
P(X = x) = 144169, & se x = 0 24169, & se x = 1 1169, & se x = 2

Passo 7

Agora, vamos fazer a mesma coisa para a variável Y, que conta as damas. Como a probabilidade de tirar uma dama é igual à de tirar um ás, a distribuição vai ser exatamente a mesma:
P(Y = y) = 144169, & se y = 0 24169, & se y = 1 1169, & se y = 2

Passo 8

As distribuições marginais de X e Y são conhecidas e são do tipo Binomial, com parâmetros n = 2 (número de retiradas) e p = 113 (probabilidade de sucesso em cada retirada).

Resposta

As distribuições marginais são binomiais com n = 2 e p = 113, ou seja:
P(X = x) = 144169, & se x = 0 24169, & se x = 1 1169, & se x = 2
e
P(Y = y) = 144169, & se y = 0 24169, & se y = 1 1169, & se y = 2
Além disso, essas distribuições são conhecidas como distribuições binomiais.

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