Suponha que de um baralho sejam retiradas duas cartas, ao acaso e com reposição. Seja a v.a. que representa o número de ases e seja a v.a. que representa o número de damas.
Obtenha as distribuições marginais de e . Elas são conhecidas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre tirar duas cartas de um baralho, uma de cada vez, e depois de cada retirada, a carta volta pro baralho (isso é o que significa “com reposição”). Temos duas variáveis aleatórias aqui: , que conta quantos ases a gente tirou, e , que conta quantas damas. O conteúdo que vamos usar aqui é de probabilidade, especificamente sobre distribuições marginais.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na probabilidade de tirar um ás em uma única retirada. Num baralho padrão, tem 4 ases e 52 cartas no total. Então, a chance de tirar um ás é:
O mesmo vale para tirar uma dama:
Passo 3
Como estamos fazendo duas retiradas com reposição, cada retirada é independente. Isso significa que a probabilidade de tirar um ás ou uma dama na segunda retirada não depende do que tiramos na primeira.
Passo 4
Vamos agora definir a variável aleatória , que representa o número de ases em duas retiradas. Os possíveis valores para são 0, 1 ou 2.
Para : Nenhum ás nas duas retiradas.
Para : Um ás em uma das retiradas.
Para : Dois ases nas duas retiradas.
Passo 5
Calculando as probabilidades de cada caso para :
: Nenhum ás nas duas retiradas.
: Um ás em uma das retiradas.
Existem duas formas de conseguir isso: ás na primeira e não na segunda, ou não na primeira e ás na segunda.
: Dois ases nas duas retiradas.
Passo 6
Então, a distribuição marginal de é:
Passo 7
Agora, vamos fazer a mesma coisa para a variável Y, que conta as damas. Como a probabilidade de tirar uma dama é igual à de tirar um ás, a distribuição vai ser exatamente a mesma:
P(Y = y) = 144169, & se y = 0 24169, & se y = 1 1169, & se y = 2
Passo 8
As distribuições marginais de X e Y são conhecidas e são do tipo Binomial, com parâmetros n = 2 (número de retiradas) e p = 113 (probabilidade de sucesso em cada retirada).
Resposta
As distribuições marginais são binomiais com n = 2 e p = 113, ou seja:
P(X = x) = 144169, & se x = 0 24169, & se x = 1 1169, & se x = 2
e
P(Y = y) = 144169, & se y = 0 24169, & se y = 1 1169, & se y = 2
Além disso, essas distribuições são conhecidas como distribuições binomiais.