A função densidade de probabilidade conjunta do vetor aleatório
é dada por:
em que
é a região formada pelas retas que passam pelos pontos
e
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A gente tem uma função de densidade conjunta $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) = k I_{A}(x) $, onde $ I_{A}(x) $ indica que estamos olhando para a região $ A $ definida por algumas linhas. Nosso objetivo é calcular $ P(X_{1} > 0, X_{2} < 1) $. Para isso, vamos precisar entender como essa função de densidade funciona e como calcular probabilidades dentro dessa região.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ k $. Sabemos que a integral da função de densidade sobre toda a região $ A $ deve ser igual a 1, porque a probabilidade total é 100%. Então, vamos calcular a área da região $ A $ e depois definir $ k $ como o inverso dessa área:
Passo 3
Agora, vamos determinar a área da região $ A $. A região é formada pelas retas que passam pelos pontos $ (0,0) $, $ (1,1) $, $ (0,2) $ e $ (-1,1) $. Plotando esses pontos, vemos que eles formam um losango (ou diamante). A fórmula para a área de um losango é:
onde $ d_{1} $ e $ d_{2} $ são as diagonais. As diagonais aqui vão do $ (0,0) $ ao $ (0,2) $ e de $ (-1,1) $ ao $ (1,1) $. Calculando:
Então,
Portanto, $ k = \frac{1}{2} $.
Passo 4
Com $ k $ conhecido, vamos calcular $ P(X_{1} > 0, X_{2} < 1) $. Isso significa que queremos a probabilidade de que $ X_{1} $ seja maior que 0 e $ X_{2} $ seja menor que 1 dentro da região $ A $.
Vamos identificar a parte da região $ A $ que satisfaz $ X_{1} > 0 $ e $ X_{2} < 1 $. Observando o losango, essa parte será um triângulo com vértices em $ (0,0) $, $ (1,1) $ e $ (0,0) $ novamente, já que $ X_{1} $ deve ser maior que 0 e $ X_{2} $ menor que 1. A área desse triângulo é:
Resposta
A probabilidade $ P(X_{1} > 0, X_{2} < 1) $ é $ 0.25 $.