Um estudante pesquisou na literatura especializada o valor da densidade d do ferro, \mathrm{em} \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}, e os organizou na tabela, com a
s c
d1 d2 d3 d4
8,12(3) 8,5(2) 8,05(5) 8,3(1)
incerteza de cada valor entre parêntesis.
A) Calcule a incerteza relativa percentual (precisăo) de cada valor;
B) Ordene os valores da maior precisão para a menor;
C) Calcule a média ponderada dos valores e a respectiva incerteza;
D) Se considerarmos a média ponderada calculada no item B como o valor verdadeiro ou esperado, qual o valor da tabela apresenta a maior exatidão em relação a este valor verdadeiro?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas (A, B, C e D) e fornece quatro medidas do mesmo grandeza (densidade do ferro) com a incerteza entre parêntesis. Vou listar claramente o que foi dado (peguei os valores e as incertezas exatamente da tabela fornecida):
  • Medida d_1 = 8,12(3). Isso significa d_1 = 8,12 e incerteza absoluta \sigma_1 = 0,03.
  • Medida d_2 = 8,5(2). Isso significa d_2 = 8,5 e incerteza absoluta \sigma_2 = 0,2.
  • Medida d_3 = 8,05(5). Isso significa d_3 = 8,05 e incerteza absoluta \sigma_3 = 0,05.
  • Medida d_4 = 8,3(1). Isso significa d_4 = 8,3 e incerteza absoluta \sigma_4 = 0,1.
As perguntas são:
A) Calcular a incerteza relativa percentual (precisão) de cada valor.
B) Ordenar os valores da maior precisão para a menor.
C) Calcular a média ponderada dos valores e a respectiva incerteza.
D) Considerando a média ponderada como valor verdadeiro, indicar qual valor da tabela é o mais exato em relação a esse valor.

Passo 2

O que é “incerteza relativa percentual” e como calcular: a incerteza relativa (sem unidade) é a incerteza absoluta dividida pelo valor medido; para transformar em porcentagem multiplica-se por 100. A fórmula é
\text{incerteza relativa percentual} = \frac{\sigma}{d}\times 100\%.
Aqui \sigma é a incerteza absoluta e d o valor medido. Vou aplicar essa fórmula a cada medida, mostrando as contas.

Passo 3

Cálculo da incerteza relativa para d_1:
\frac{\sigma_1}{d_1}\times100\%=\frac{0,03}{8,12}\times100\% \approx 0,3695\%.
Arredondando de forma prática para apresentação da precisão, fica \approx 0,37\%.

Passo 4

Cálculo da incerteza relativa para d_2:
\frac{\sigma_2}{d_2}\times100\%=\frac{0,2}{8,5}\times100\% \approx 2,3529\% \approx 2,35\%.

Passo 5

Cálculo da incerteza relativa para d_3:
\frac{\sigma_3}{d_3}\times100\%=\frac{0,05}{8,05}\times100\% \approx 0,6211\% \approx 0,62\%.

Passo 6

Cálculo da incerteza relativa para d_4:
\frac{\sigma_4}{d_4}\times100\%=\frac{0,1}{8,3}\times100\% \approx 1,2048\% \approx 1,20\%.

Passo 7

Interpretação para ordenar por precisão: quanto menor a incerteza relativa percentual, maior a precisão. Usando os valores calculados:
  • d_1:\;0,37\%
  • d_3:\;0,62\%
  • d_4:\;1,20\%
  • d_2:\;2,35\%
Logo a ordem da maior precisão para a menor é d_1,\\ d_3,\\ d_4,\\ d_2.

Passo 8

Agora a média ponderada (parte C). Motivação e fórmula: quando temos medidas com incertezas diferentes, a média ponderada dá mais peso às medidas mais precisas. Usamos pesos
w_i=\frac{1}{\sigma_i^{2}}.
A média ponderada é
\bar d=\frac{\sum_{i} w_i d_i}{\sum_{i} w_i}.
A incerteza da média ponderada é
\sigma_{\bar d}=\frac{1}{\sqrt{\sum_{i} w_i}}.
Vou calcular passo a passo.

Passo 9

Calcular os pesos w_i:
w_1=\frac{1}{(0,03)^2}=\frac{1}{0,0009}=1111{,}111\ldots
w_2=\frac{1}{(0,2)^2}=\frac{1}{0,04}=25
w_3=\frac{1}{(0,05)^2}=\frac{1}{0,0025}=400
w_4=\frac{1}{(0,1)^2}=\frac{1}{0,01}=100
Somando os pesos:
\sum_i w_i = 1111{,}111\ldots +25+400+100 = 1636{,}111\ldots

Passo 10

Calcular o numerador \sum w_i d_i:
w_1 d_1 = 1111{,}111\ldots \times 8,12 = \frac{8,12}{0,0009}=9022{,}222\ldots
w_2 d_2 = 25\times 8,5 = 212{,}5
w_3 d_3 = 400\times 8,05 = 3220
w_4 d_4 = 100\times 8,3 = 830
Somando:
\sum_i w_i d_i = 9022{,}222\ldots + 212{,}5 + 3220 + 830 = 13284{,}722\ldots

Passo 11

Agora a média ponderada:
\bar d = \frac{13284{,}722\ldots}{1636{,}111\ldots} \approx 8,119695\ldots
Assim \bar d \approx 8,1197. Vou calcular já a incerteza da média ponderada.

Passo 12

Incerteza da média ponderada:
\sigma_{\bar d}=\frac{1}{\sqrt{\sum_i w_i}}=\frac{1}{\sqrt{1636{,}111\ldots}}\approx 0,02473\ldots
Ou seja \sigma_{\bar d}\approx 0,0247.

Passo 13

Arredondamento para apresentação: regra prática — a incerteza típica é dada com uma ou duas cifras significativas; aqui uso duas cifras para ficar informativo: \sigma_{\bar d}\approx 0,025. Então a média deve ser arredondada na mesma casa decimal (0,001) para manter consistência: \bar d \approx 8,120. Assim apresentamos
\bar d = 8,120 \pm 0,025\\ \mathrm{g/cm^3}.

Passo 14

Agora a exatidão (parte D): se tomamos \bar d como o valor verdadeiro, a exatidão de cada medida é dada pela diferença absoluta |d_i-\bar d|. Calculo as diferenças:
|d_1-\bar d| = |8,12-8,119695\ldots| \approx 0,000305\ldots \approx 0,00031
|d_2-\bar d| = |8,5-8,119695\ldots| \approx 0,380305\ldots \approx 0,380
|d_3-\bar d| = |8,05-8,119695\ldots| \approx 0,069695\ldots \approx 0,0697
|d_4-\bar d| = |8,3-8,119695\ldots| \approx 0,180305\ldots \approx 0,180
O menor desvio absoluto é o de d_1. Portanto d_1 é a medida da tabela que apresenta a maior exatidão em relação à média ponderada tomada como valor verdadeiro.

Resposta

A) d_1:\;0,37\%, d_2:\;2,35\%, d_3:\;0,62\%, d_4:\;1,20\%
B) Ordem da maior precisão para a menor: d_1,\\ d_3,\\ d_4,\\ d_2
C) Média ponderada e incerteza: \bar d = 8,120 \pm 0,025\\ \mathrm{g/cm^3}
D) Maior exatidão (mais próxima de \bar d): d_1 = 8,12(3) (desvio \approx 0,00031 g/cm³)

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