No início do século XX, por volta de 1913, o físico inglês Henry Gwyn-Jeffreys Moseley examinou os espectros dos raios-X característicos de cerca de 40 elementos. Neste estudo, descobriu que todos os átomos de um mesmo elemento químico tinham carga nuclear idêntica, o que indicava que possuíam o mesmo número de prótons em seus núcleos. O número de prótons que um elemento possui em seu núcleo corresponde ao seu número atômico. O físico observou que quando os elementos eram colocados em ordem crescente de números atômicos, suas propriedades se repetiam periodicamente. Não levou muito tempo para que Moseley chegasse à conclusão de que o número atômico podia ser usado como critério de organização dos elementos químicos, em vez da massa atômica. A aplicação desse padrão corrigiu as falhas existentes nas tabelas de Mendeleiev e de Meyer. As poucas lacunas que ainda persistiram na Tabela foram preenchidas mais tarde por alguns elementos descobertos e outros sintetizados em laboratório. Assim chegou-se a uma versão da Tabela Periódica muito parecida com a que temos atualmente, composta por linhas chamadas de períodos (ou níveis) e colunas chamadas de famílias (ou grupos). Assim, Moseley estabeleceu o conceito de número atômico estudando os raios-X emitidos pelos elementos. Os raios X emitidos por alguns dos elementos têm os seguintes comprimentos de onda:
Elemento
Comprimento de onda
Ne
14,610
Ca
3,358
Zn
1,435
Zr
0,786
Sn
0,491
(a) Calcule a frequência,
, dos raios X emitidos por cada um dos elementos, em Hz; (b) usando uma planilha eletrônica trace o gráfico da raiz quadrada de
versus o número atômico do elemento; (c) Explique como o gráfico do item (b) permitiu a Moseley determinar a existência de elementos que ainda não tinham sido descobertos; (d) Use o resultado do item (b) para prever o comprimento de onda dos raios-X emitidos pelo ferro; (e) Certo elemento emite raios X com comprimento de onda de
. Que elemento você acha que é esse?
| Elemento | Comprimento de onda
|
| Ne | 14,610 |
| Ca | 3,358 |
| Zn | 1,435 |
| Zr | 0,786 |
| Sn | 0,491 |
Passo 1
O enunciado dá comprimentos de onda (em
) de raios X emitidos por cinco elementos e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (peguei os comprimentos de onda do enunciado):
- Ne:
. - Ca:
. - Zn:
. - Zr:
. - Sn:
.
Números atômicos (vou usar os números atômicos conhecidos para esses elementos):
- Ne:
. - Ca:
. - Zn:
. - Zr:
. - Sn:
.
O enunciado pede:
(a) Calcular a frequência (em Hz) correspondente a cada comprimento de onda.
(b) Traçar, numa planilha, o gráfico de versus
.
(c) Explicar como esse gráfico permitiu prever elementos não descobertos.
(d) Usar o resultado do item (b) para prever o comprimento de onda dos raios X emitidos pelo ferro (Fe, ).
(e) Determinar qual elemento corresponderia a um comprimento de onda .
(a) Calcular a frequência
(b) Traçar, numa planilha, o gráfico de
(c) Explicar como esse gráfico permitiu prever elementos não descobertos.
(d) Usar o resultado do item (b) para prever o comprimento de onda dos raios X emitidos pelo ferro (Fe,
(e) Determinar qual elemento corresponderia a um comprimento de onda
Passo 2
Fórmula básica e conversões — aula rápida e prática:
- Relação entre velocidade da luz, comprimento de onda e frequência:
onde
é a frequência (Hz),
é a velocidade da luz no vácuo e
o comprimento de onda (m).
- Valor que vou usar:
. - Conversão de
para metros: . Portanto, se está em , em metros é . - Para evitar fazer muitos fatores de 10 manualmente, lembro que
Agora calculo
para cada elemento mostrando o passo:
- Ne:
- Ca:
- Zn:
- Zr:
- Sn:
Comentário didático: cada divisão acima é apenas aplicar
com
em
convertida implicitamente pelo fator
, daí o numerador
.
Passo 3
Agora calculo
para cada frequência — isso é o que Moseley plotou (ele notou que
é aproximadamente linear com
). Vou explicar: tirar a raiz quadrada é só preparar os dados para a lei empírica. Faço as raízes:
- Ne:
- Ca:
- Zn:
- Zr:
- Sn:
Didática curta: para tirar a raiz de um número em notação científica, separe a potência de 10 (
) e a mantissa; a raiz de
é
. Aqui eu já transformei tudo numericamente para facilitar a leitura.
Passo 4
Ajuste linear (o que se faz no gráfico do item b) — ensinar o método simples que usei:
- Moseley observou empiricamente que
onde
é uma constante de proporcionalidade e
é uma constante de “blindagem” (shielding) típica (para linhas Kα
fica perto de 1). Isso significa que
deve ser praticamente uma reta em função de
.
- Para obter uma reta prática a partir dos dados, posso ajustar uma reta pelo método simples de usar os pontos extremos (uma forma rápida quando
está uniformemente espaçado; numa planilha faria ajuste por mínimos quadrados). Usei os pontos (Ne) e (Sn) para estimar a inclinação média:
Cálculo da inclinação
(coeficiente angular) e da ordenada
(intercepto) na forma
:
Portanto a reta obtida é
Reescrevendo no formato de Moseley:
Didática: isso mostra quantitativamente a ideia de Moseley — os pontos caem quase numa reta e a extrapolação/interpolação dessa reta dá valores de
(logo de
e
) para valores inteiros de
.
Passo 5
Resposta conceitual (item c) — por que o gráfico indica elementos faltantes:
- Se
é linear em e os elementos existentes produzem pontos que ficam numa reta, então para cada inteiro deve haver um ponto sobre essa reta correspondente ao elemento com aquele número atômico. - Se no gráfico há um “buraco” (isto é, falta de ponto) para algum
inteiro entre pontos observados, isso sugere que existe um elemento com esse cujas linhas X ainda não foram medidas (ou o elemento ainda não havia sido isolado). Assim Moseley pôde prever a existência de elementos faltando porque via que a sequência de inteiros deveria produzir pontos ao longo da reta; onde faltava um ponto, devia existir um elemento a ser descoberto. - Em suma: a linearidade transforma a ordem química (propriedades periódicas) em uma sequência numérica contínua; lacunas nessa sequência indicam átomos ainda não observados.
Passo 6
Previsão do comprimento de onda para o ferro (item d) — aplicação direta da reta:
- Para ferro
, primeiro calculo pela reta ajustada:
- Agora obtenho
:
- Finalmente o comprimento de onda:
Arredondando de forma razoável, a previsão é
.
Comentário: numa planilha com ajuste por mínimos quadrados o valor poderia variar ligeiramente; este procedimento usando os extremos dá uma boa estimativa prática.
Passo 7
Identificação do elemento com
(item e):
- Primeiro obtenho
correspondente:
- Calculo
:
- Uso a reta inversa para estimar
:
- Como
deve ser inteiro, arredondo para o inteiro mais próximo: . O elemento de número atômico 36 é kriptônio (Kr).
Interpretação final: o comprimento de onda
corresponde aproximadamente ao elemento com
, ou seja, Kr (levando em conta a aproximação do ajuste).
Resposta
(a)
(b) O gráfico de
versus
é aproximadamente linear; a reta ajustada (usando extremos) é
(ou
).
(c) Porque a relação linear mostra que para cada inteiro
deveria existir um ponto; lacunas na sequência de pontos indicavam valores inteiros de
para os quais ainda não havia elemento observado — assim Moseley pôde prever elementos faltantes.
(d) Previsão para Fe (
):
.
(e) Para
obtém-se
; elemento provável: kriptônio (Kr).