No início do século XX, por volta de 1913, o físico inglês Henry Gwyn-Jeffreys Moseley examinou os espectros dos raios-X característicos de cerca de 40 elementos. Neste estudo, descobriu que todos os átomos de um mesmo elemento químico tinham carga nuclear idêntica, o que indicava que possuíam o mesmo número de prótons em seus núcleos. O número de prótons que um elemento possui em seu núcleo corresponde ao seu número atômico. O físico observou que quando os elementos eram colocados em ordem crescente de números atômicos, suas propriedades se repetiam periodicamente. Não levou muito tempo para que Moseley chegasse à conclusão de que o número atômico podia ser usado como critério de organização dos elementos químicos, em vez da massa atômica. A aplicação desse padrão corrigiu as falhas existentes nas tabelas de Mendeleiev e de Meyer. As poucas lacunas que ainda persistiram na Tabela foram preenchidas mais tarde por alguns elementos descobertos e outros sintetizados em laboratório. Assim chegou-se a uma versão da Tabela Periódica muito parecida com a que temos atualmente, composta por linhas chamadas de períodos (ou níveis) e colunas chamadas de famílias (ou grupos). Assim, Moseley estabeleceu o conceito de número atômico estudando os raios-X emitidos pelos elementos. Os raios X emitidos por alguns dos elementos têm os seguintes comprimentos de onda:
Elemento Comprimento de onda (\AA)
Ne 14,610
Ca 3,358
Zn 1,435
Zr 0,786
Sn 0,491
(a) Calcule a frequência, v, dos raios X emitidos por cada um dos elementos, em Hz; (b) usando uma planilha eletrônica trace o gráfico da raiz quadrada de v versus o número atômico do elemento; (c) Explique como o gráfico do item (b) permitiu a Moseley determinar a existência de elementos que ainda não tinham sido descobertos; (d) Use o resultado do item (b) para prever o comprimento de onda dos raios-X emitidos pelo ferro; (e) Certo elemento emite raios X com comprimento de onda de 0,980 \AA. Que elemento você acha que é esse?

Passo 1

O enunciado dá comprimentos de onda (em \AA) de raios X emitidos por cinco elementos e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (peguei os comprimentos de onda do enunciado):
  • Ne: \lambda_{\rm Ne}=14{,}610\\ \AA.
  • Ca: \lambda_{\rm Ca}=3{,}358\\ \AA.
  • Zn: \lambda_{\rm Zn}=1{,}435\\ \AA.
  • Zr: \lambda_{\rm Zr}=0{,}786\\ \AA.
  • Sn: \lambda_{\rm Sn}=0{,}491\\ \AA.
Números atômicos (vou usar os números atômicos conhecidos para esses elementos):
  • Ne: Z=10.
  • Ca: Z=20.
  • Zn: Z=30.
  • Zr: Z=40.
  • Sn: Z=50.
O enunciado pede:
(a) Calcular a frequência v (em Hz) correspondente a cada comprimento de onda.
(b) Traçar, numa planilha, o gráfico de \sqrt{v} versus Z.
(c) Explicar como esse gráfico permitiu prever elementos não descobertos.
(d) Usar o resultado do item (b) para prever o comprimento de onda dos raios X emitidos pelo ferro (Fe, Z=26).
(e) Determinar qual elemento corresponderia a um comprimento de onda \lambda=0{,}980\\ \AA.

Passo 2

Fórmula básica e conversões — aula rápida e prática:
  • Relação entre velocidade da luz, comprimento de onda e frequência:
v=\frac{c}{\lambda},
onde v é a frequência (Hz), c é a velocidade da luz no vácuo e \lambda o comprimento de onda (m).
  • Valor que vou usar: c=2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Conversão de \AA para metros: 1\\ \AA = 1\times10^{-10}\\ \mathrm{m}. Portanto, se \lambda está em \AA, em metros é \lambda(\mathrm{m})=\lambda(\AA)\times10^{-10}.
  • Para evitar fazer muitos fatores de 10 manualmente, lembro que
v=\frac{c}{\lambda(\mathrm{m})}=\frac{2{,}998\times10^{8}}{\lambda(\AA)\times10^{-10}}=\frac{2{,}998\times10^{18}}{\lambda(\AA)}\\ \text{Hz}.
Agora calculo v para cada elemento mostrando o passo:
  • Ne:
v_{\rm Ne}=\frac{2{,}998\times10^{18}}{14{,}610}=2{,}0512\times10^{17}\\ \text{Hz}.
  • Ca:
v_{\rm Ca}=\frac{2{,}998\times10^{18}}{3{,}358}=8{,}929\times10^{17}\\ \text{Hz}.
  • Zn:
v_{\rm Zn}=\frac{2{,}998\times10^{18}}{1{,}435}=2{,}0889\times10^{18}\\ \text{Hz}.
  • Zr:
v_{\rm Zr}=\frac{2{,}998\times10^{18}}{0{,}786}=3{,}8150\times10^{18}\\ \text{Hz}.
  • Sn:
v_{\rm Sn}=\frac{2{,}998\times10^{18}}{0{,}491}=6{,}1034\times10^{18}\\ \text{Hz}.
Comentário didático: cada divisão acima é apenas aplicar v=c/\lambda com \lambda em \AA convertida implicitamente pelo fator 10^{-10}, daí o numerador 2{,}998\times10^{18}.

Passo 3

Agora calculo \sqrt{v} para cada frequência — isso é o que Moseley plotou (ele notou que \sqrt{v} é aproximadamente linear com Z). Vou explicar: tirar a raiz quadrada é só preparar os dados para a lei empírica. Faço as raízes:
  • Ne:
\sqrt{v_{\rm Ne}}=\sqrt{2{,}0512\times10^{17}}=4{,}5321\times10^{8}\\ \text{Hz}^{1/2}.
  • Ca:
\sqrt{v_{\rm Ca}}=\sqrt{8{,}929\times10^{17}}=9{,}4560\times10^{8}\\ \text{Hz}^{1/2}.
  • Zn:
\sqrt{v_{\rm Zn}}=\sqrt{2{,}0889\times10^{18}}=1{,}4453\times10^{9}\\ \text{Hz}^{1/2}.
  • Zr:
\sqrt{v_{\rm Zr}}=\sqrt{3{,}8150\times10^{18}}=1{,}9531\times10^{9}\\ \text{Hz}^{1/2}.
  • Sn:
\sqrt{v_{\rm Sn}}=\sqrt{6{,}1034\times10^{18}}=2{,}4705\times10^{9}\\ \text{Hz}^{1/2}.
Didática curta: para tirar a raiz de um número em notação científica, separe a potência de 10 ( 10^{n}) e a mantissa; a raiz de 10^{n} é 10^{n/2}. Aqui eu já transformei tudo numericamente para facilitar a leitura.

Passo 4

Ajuste linear (o que se faz no gráfico do item b) — ensinar o método simples que usei:
  • Moseley observou empiricamente que
\sqrt{v}=A\,(Z-\sigma),
onde A é uma constante de proporcionalidade e \sigma é uma constante de “blindagem” (shielding) típica (para linhas Kα \sigma fica perto de 1). Isso significa que \sqrt{v} deve ser praticamente uma reta em função de Z.
  • Para obter uma reta prática a partir dos dados, posso ajustar uma reta pelo método simples de usar os pontos extremos (uma forma rápida quando Z está uniformemente espaçado; numa planilha faria ajuste por mínimos quadrados). Usei os pontos Z=10 (Ne) e Z=50 (Sn) para estimar a inclinação média:
Cálculo da inclinação a (coeficiente angular) e da ordenada b (intercepto) na forma \sqrt{v}=aZ+b:
a=\frac{\sqrt{v_{\rm Sn}}-\sqrt{v_{\rm Ne}}}{50-10} =\frac{2{,}4705\times10^{9}-4{,}5321\times10^{8}}{40}=5{,}0433\times10^{7}\\ \text{Hz}^{1/2}\\ \text{por unidade de }Z.
b=\sqrt{v_{\rm Ne}}-a\cdot10=4{,}5321\times10^{8}-5{,}0433\times10^{7}\cdot10=-5{,}1116\times10^{7}\\ \text{Hz}^{1/2}.
Portanto a reta obtida é
\sqrt{v}=5{,}0433\times10^{7}\,Z-5{,}1116\times10^{7}.
Reescrevendo no formato de Moseley:
\sqrt{v}=A\,(Z-\sigma),\qquad A=5{,}0433\times10^{7},\quad \sigma=\frac{-b}{a}=1{,}0137\approx1{,}014.
Didática: isso mostra quantitativamente a ideia de Moseley — os pontos caem quase numa reta e a extrapolação/interpolação dessa reta dá valores de \sqrt{v} (logo de v e \lambda) para valores inteiros de Z.

Passo 5

Resposta conceitual (item c) — por que o gráfico indica elementos faltantes:
  • Se \sqrt{v} é linear em Z e os elementos existentes produzem pontos que ficam numa reta, então para cada inteiro Z deve haver um ponto sobre essa reta correspondente ao elemento com aquele número atômico.
  • Se no gráfico há um “buraco” (isto é, falta de ponto) para algum Z inteiro entre pontos observados, isso sugere que existe um elemento com esse Z cujas linhas X ainda não foram medidas (ou o elemento ainda não havia sido isolado). Assim Moseley pôde prever a existência de elementos faltando porque via que a sequência de inteiros Z deveria produzir pontos ao longo da reta; onde faltava um ponto, devia existir um elemento a ser descoberto.
  • Em suma: a linearidade transforma a ordem química (propriedades periódicas) em uma sequência numérica contínua; lacunas nessa sequência indicam átomos ainda não observados.

Passo 6

Previsão do comprimento de onda para o ferro (item d) — aplicação direta da reta:
  • Para ferro Z=26, primeiro calculo \sqrt{v} pela reta ajustada:
\sqrt{v_{\rm Fe}}=a\cdot26+b=5{,}0433\times10^{7}\cdot26-5{,}1116\times10^{7}=1{,}260142\times10^{9}\\ \text{Hz}^{1/2}.
  • Agora obtenho v_{\rm Fe}=(\sqrt{v_{\rm Fe}})^{2}:
v_{\rm Fe}=(1{,}260142\times10^{9})^{2}=1{,}58796\times10^{18}\\ \text{Hz}.
  • Finalmente o comprimento de onda:
\lambda_{\rm Fe}=\frac{c}{v_{\rm Fe}}=\frac{2{,}998\times10^{8}}{1{,}58796\times10^{18}}=1{,}8879\times10^{-10}\\ \text{m}=1{,}8879\\ \AA.
Arredondando de forma razoável, a previsão é \lambda_{\rm Fe}\approx1{,}888\\ \AA.
Comentário: numa planilha com ajuste por mínimos quadrados o valor poderia variar ligeiramente; este procedimento usando os extremos dá uma boa estimativa prática.

Passo 7

Identificação do elemento com \lambda=0{,}980\\ \AA (item e):
  • Primeiro obtenho v correspondente:
v=\frac{2{,}998\times10^{18}}{0{,}980}=3{,}05714\times10^{18}\\ \text{Hz}.
  • Calculo \sqrt{v}:
\sqrt{v}= \sqrt{3{,}05714\times10^{18}}=1{,}74847\times10^{9}\\ \text{Hz}^{1/2}.
  • Uso a reta inversa para estimar Z:
Z=\frac{\sqrt{v}-b}{a}=\frac{1{,}74847\times10^{9}-(-5{,}1116\times10^{7})}{5{,}0433\times10^{7}} =\frac{1{,}799586\times10^{9}}{5{,}0433\times10^{7}}=35{,}67\\ (\text{aprox.}).
  • Como Z deve ser inteiro, arredondo para o inteiro mais próximo: Z\approx36. O elemento de número atômico 36 é kriptônio (Kr).
Interpretação final: o comprimento de onda \lambda=0{,}980\\ \AA corresponde aproximadamente ao elemento com Z=36, ou seja, Kr (levando em conta a aproximação do ajuste).

Resposta

(a) v_{\rm Ne}=2{,}0512\times10^{17}\\ \text{Hz}
v_{\rm Ca}=8{,}929\times10^{17}\\ \text{Hz}
v_{\rm Zn}=2{,}0889\times10^{18}\\ \text{Hz}
v_{\rm Zr}=3{,}8150\times10^{18}\\ \text{Hz}
v_{\rm Sn}=6{,}1034\times10^{18}\\ \text{Hz}
(b) O gráfico de \sqrt{v} versus Z é aproximadamente linear; a reta ajustada (usando extremos) é \displaystyle \sqrt{v}=5{,}0433\times10^{7}\,Z-5{,}1116\times10^{7} (ou \sqrt{v}=5{,}0433\times10^{7}(Z-1{,}0137)).
(c) Porque a relação linear mostra que para cada inteiro Z deveria existir um ponto; lacunas na sequência de pontos indicavam valores inteiros de Z para os quais ainda não havia elemento observado — assim Moseley pôde prever elementos faltantes.
(d) Previsão para Fe ( Z=26): \displaystyle \lambda_{\rm Fe}\approx1{,}888\\ \AA.
(e) Para \lambda=0{,}980\\ \AA obtém-se Z\approx35{,}7\Rightarrow Z\approx36; elemento provável: kriptônio (Kr).

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