No experimento do pêndulo foram feitas medições de tempo considerando o tempo de 20 oscilações do pêndulo. Depois foi feita a média de 5 medições, para obter finalmente o valor do periodo
. Você deve ter percebido que a amplitude da oscilação diminui com o passar do tempo. A) Isto impactou o valor de
? B) Porque foi feita 20 medições e não somente uma? Justifique suas respostas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda). Do enunciado temos:
- Foi usado um pêndulo e mediu-se o tempo correspondente a 20 oscilações consecutivas.
- Foram feitas 5 medições desse tempo de 20 oscilações e depois foi calculada a média para obter o período
. - Observou-se que a amplitude da oscilação diminui com o passar do tempo (há amortecimento).
O enunciado faz duas perguntas:
A) Isso (a diminuição da amplitude) impactou o valor de ?
B) Por que se mediu o tempo de 20 oscilações e não apenas de uma? Justifique.
A) Isso (a diminuição da amplitude) impactou o valor de
B) Por que se mediu o tempo de 20 oscilações e não apenas de uma? Justifique.
Passo 2
Primeiro, o que é o período ideal de um pêndulo simples e em que hipóteses ele independe da amplitude.
A fórmula do período no modelo ideal (pêndulo simples, pequeno ângulo, sem amortecimento) é
onde:
-
é o período (tempo de uma oscilação); -
é o comprimento do fio do pêndulo; -
é a aceleração da gravidade local; -
é a constante que aparece na solução da equação do movimento harmônico.
Essa expressão foi obtida usando a aproximação de pequeno ângulo, que é
quando
está em radianos e
é pequeno (tipicamente
rad
). Nesse regime a equação do movimento se reduz à de um oscilador harmônico simples com frequência
e período
acima. Importante: nessa aproximação ideal o período não depende da amplitude da oscilação.
Passo 3
Agora: quando a amplitude não é infinitesimal, existe correção ao período. Para amplitudes finitas a expressão exata envolve uma integral elíptica, mas existe uma série de desenvolvimento conveniente:
onde:
-
é o período real para amplitude máxima (em radianos); -
é a amplitude angular máxima (em radianos); - o termo
corresponde ao período no limite de pequeno ângulo ; - os termos adicionais mostram que o período aumenta quando a amplitude aumenta.
Interpretação curta: para amplitudes maiores, o pêndulo leva um pouco mais de tempo para completar uma oscilação (o período cresce com
). Logo, se a amplitude diminui com o tempo, essa contribuição não-linear fará o período diminuir ligeiramente.
Passo 4
Quantificar o efeito (ordem de grandeza) com um exemplo numérico simples — assim dá para ver se o impacto é relevante na prática.
Escolho dois valores típicos de amplitude para comparar:
- amplitude inicial
(escrevo o valor em radianos quando usado nas fórmulas); - amplitude final
.
Usando apenas o primeiro termo de correção:
Calculemos:
A diferença na correção relativa ao passar de
para
é
ou seja cerca de
(fração
).
Se o período típico for, por exemplo,
, então a variação absoluta no período por os efeitos de amplitude seria
por oscilação. Em 20 oscilações acumuladas isso corresponderia a algo como
no tempo total de 20 oscilações.
Conclusão deste passo: a mudança de amplitude entre
e
daria uma mudança do período da ordem de
em fração — ou seja, uma fração de percentagem, geralmente pequena.
Passo 5
Efeito do amortecimento (força dissipativa) sobre a frequência/periodo.
Se houver amortecimento leve (resistência do ar, atrito no eixo), a equação linearizada produz uma frequência angular amortecida
onde:
-
é a frequência angular do pêndulo sem amortecimento; -
é a taxa de amortecimento (proporcional à força dissipativa por velocidade); - para amortecimento fraco tem-se
.
Para amortecimento fraco pode-se aproximar
ou seja, a diminuição da frequência (aumento do período) por amortecimento é de segunda ordem em
. Na prática, pêndulos de experiência têm amortecimento pequeno, então esse efeito é ainda menor que a correção pela amplitude finita mostrada antes — tipicamente negligenciável frente aos erros humanos de temporização.
Passo 6
Síntese das observações para responder (A): impacto da diminuição da amplitude sobre
.
- Teoria: sim, existe um efeito teórico — o período depende da amplitude quando a amplitude não é infinitesimal; o período aumenta com amplitude. Portanto, se a amplitude decresce com o tempo, espera-se uma pequena diminuição do período ao longo das oscilações.
- Ordem de grandeza: essa variação é muito pequena se as amplitudes forem pequenas (por exemplo
). Na prática experimental comum, essa mudança (algumas partes em ou menos) costuma ser menor que os erros de temporização humana (tempo de reação) e menor que outros ruídos experimentais. - Efeito do amortecimento linear fraco é ainda menor (variação proporcional a
).
Portanto resposta curta e prática: a diminuição da amplitude causa, em princípio, uma pequena alteração no valor de
, porém na maioria dos experimentos de laboratório elementar esse impacto é desprezível comparado às incertezas de medição (a menos que se trabalhe com amplitudes grandes ou instrumentação muito precisa).
Passo 7
Justificação (B): por que medir 20 oscilações e não apenas uma?
Razões e argumentos quantitativos:
- Reduz o erro relativo causado pelo tempo de reação ou resolução do cronômetro. Se o erro absoluto da medição do tempo total for
(por exemplo erro do relógio mais tempo de reação, tipicamente – ), ao medir oscilações o período estimado é
e a incerteza no período é
Ou seja, medindo mais oscilações a incerteza no período diminui linearmente com
.
Exemplo numérico: suponha
e
.
- Medindo uma só oscilação: tempo
, erro relativo . - Medindo 20 oscilações: tempo total
, erro relativo .
Grande melhoria.
-
Reduz variabilidade estatística: repetir a medição M vezes e tirar a média diminui a incerteza do valor médio por um fator
(se as medições forem independentes). No experimento foi feita média de 5 medições; isso ajuda a reduzir ruído aleatório e obter um valor mais confiável. -
Atenua efeito de timings erráticos e de pequenas irregularidades: medir várias oscilações amortece flutuações temporárias (por exemplo um pulo do observador ao iniciar, vibração momentânea, etc.).
Portanto: medir
oscilações (em vez de uma) e repetir isso várias vezes para fazer média é uma prática experimental para aumentar precisão e reduzir erro relativo e ruído aleatório.
Passo 8
Resumo prático e incentivo (para a prova):
- Responda A dizendo que teoricamente há impacto (sim), mas que na prática, para amplitudes pequenas e amortecimento fraco, o efeito é muito pequeno e geralmente desprezível frente ao erro de medição.
- Responda B explicando que medir muitas oscilações reduz a incerteza do período porque o erro absoluto da cronometragem é dividido por
; repetir medições e tirar média reduz ainda mais o erro estatístico.
Vai dar certo — na hora da prova escreva a ideia e, se puder, mostre a conta rápida com um exemplo numérico (como fiz) para justificar que o efeito é pequeno.
Resposta
A) Em princípio sim: uma diminuição da amplitude provoca uma variação muito pequena do período (para amplitudes finitas vale
, logo quando
diminui
diminui ligeiramente). Na prática, para amplitudes pequenas e amortecimento fraco esse efeito é da ordem de
(fração de percentagem) e geralmente desprezível perante os erros de medição humanos.
B) Mediu-se 20 oscilações (e repetiu-se 5 vezes) para aumentar a precisão: ao medir
oscilações o período calculado é
e a incerteza no período cai como
. Assim o erro relativo causado pelo tempo de reação do observador ou pela resolução do cronômetro é muito menor medindo 20 oscilações do que medindo uma só; a média de 5 medições reduz ainda mais o ruído aleatório.