Para estudar um cristal é preciso que o elétron tenha um comprimento de onda de 1 nm . Qual seria o potencial de aceleração necessário?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que, para estudar um cristal, precisamos que o elétron tenha um comprimento de onda de 1 nm. O conteúdo envolvido aqui é a física de partículas, mais especificamente a relatividade entre comprimento de onda e energia dos elétrons. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de de Broglie, que relaciona o comprimento de onda de uma partícula com sua quantidade de movimento, e também a relação entre energia potencial e energia cinética dos elétrons acelerados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de de Broglie, que é:
lambda = hp
Onde:
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda,
  • $ h $ é a constante de Planck ( lambda ),
  • $ p $ é a quantidade de movimento do elétron.
Queremos encontrar o potencial de aceleração, que está relacionado à energia cinética que o elétron ganha ao ser acelerado por esse potencial.

Passo 3

A quantidade de movimento $ p $ pode ser expressa em termos da massa $ m $ e da velocidade $ v $ do elétron:
p
Mas também sabemos que a energia cinética $ E_k $ do elétron é dada por:
m
E, ao ser acelerado por um potencial elétrico $ V $, a energia cinética também pode ser expressa como:
v
Onde:
  • $ e $ é a carga elementar ( p = m cdot v ),
  • $ V $ é o potencial de aceleração que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos relacionar tudo isso. Primeiro, da equação de de Broglie, isolamos a velocidade $ v $:
v
Agora, substituímos $ v $ na equação da energia cinética:
v = hm lambda
Simplificando:
v
Mas também sabemos que $ E_k = eV $, então:
Ek = 12 m ( hm lambda )^2
Agora, isolamos $ V $:
Ek = h^22 m lambda^2

Passo 5

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
  • $ h = 6,626 \times 10^{-34} , J·s $
  • $ m = 9,109 \times 10^{-31} , kg $ (massa do elétron)
  • $ e = 1,602 \times 10^{-19} , C $
  • $ \lambda = 1 \times 10^{-9} , m $ (1 nm convertido para metros)
Substituindo na fórmula:
h = 6,626 times 10^-34 , J·s

Passo 6

Agora, vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos o numerador:
(6,626 times 10^-34)^2 = 4,39 times 10^-67 , J^2s^2
Depois, o denominador:
2 times 9,109 times 10^-31 times 1,602 times 10^-19 times (1 times 10^-9)^2 = 2 times 9,109 times 10^-31 times 1,602 times 10^-19 times 1 times 10^-18 = 2,92 times 10^-67

Passo 7

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
V = 4,39 times 10^-672,92 times 10^-67 approx 1,50 , V

Resposta

O potencial de aceleração necessário é aproximadamente 1,50 volts.

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