Para estudar um cristal é preciso que o elétron tenha um comprimento de onda de 1 nm . Qual seria o potencial de aceleração necessário?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que, para estudar um cristal, precisamos que o elétron tenha um comprimento de onda de 1 nm. O conteúdo envolvido aqui é a física de partículas, mais especificamente a relatividade entre comprimento de onda e energia dos elétrons. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de de Broglie, que relaciona o comprimento de onda de uma partícula com sua quantidade de movimento, e também a relação entre energia potencial e energia cinética dos elétrons acelerados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de de Broglie, que é:
Onde:
- $ \lambda $ é o comprimento de onda,
- $ h $ é a constante de Planck (
), - $ p $ é a quantidade de movimento do elétron.
Queremos encontrar o potencial de aceleração, que está relacionado à energia cinética que o elétron ganha ao ser acelerado por esse potencial.
Passo 3
A quantidade de movimento $ p $ pode ser expressa em termos da massa $ m $ e da velocidade $ v $ do elétron:
Mas também sabemos que a energia cinética $ E_k $ do elétron é dada por:
E, ao ser acelerado por um potencial elétrico $ V $, a energia cinética também pode ser expressa como:
Onde:
- $ e $ é a carga elementar (
), - $ V $ é o potencial de aceleração que queremos encontrar.
Passo 4
Vamos relacionar tudo isso. Primeiro, da equação de de Broglie, isolamos a velocidade $ v $:
Agora, substituímos $ v $ na equação da energia cinética:
Simplificando:
Mas também sabemos que $ E_k = eV $, então:
Agora, isolamos $ V $:
Passo 5
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
- $ h = 6,626 \times 10^{-34} , J·s $
- $ m = 9,109 \times 10^{-31} , kg $ (massa do elétron)
- $ e = 1,602 \times 10^{-19} , C $
- $ \lambda = 1 \times 10^{-9} , m $ (1 nm convertido para metros)
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos o numerador:
Depois, o denominador:
Passo 7
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
Resposta
O potencial de aceleração necessário é aproximadamente 1,50 volts.