Estude um circuito
LC e encontre expressões para a carga no capacitor, corrente no indutor e as energias no capacitor e indutor em função de
t. Faça um gráfico e interprete as curvas se comportam. Dê um significado físico para a frequência de oscilação
\omega.

Passo 1

O enunciado pede para estudar um circuito LC ideal (sem resistência) e obter, em função do tempo t:
– a carga no capacitor q(t),
– a corrente no indutor i(t),
– as energias armazenadas no capacitor U_C(t) e no indutor U_L(t),
além de esboçar graficamente essas grandezas e interpretar seu comportamento. O conteúdo principal é a análise de um oscilador harmônico elétrico, usando a segunda lei de Kirchhoff e noções de energia em elementos reativos.

Passo 2

Aplicamos a lei de Kirchhoff ao laço LC. Denotando por q(t) a carga no capacitor e por i(t)=\dot q(t) a corrente que passa pelo indutor, temos soma das quedas de tensão igual a zero:
L\,\frac{d i}{d t} + \frac{q}{C} = 0.
Como i=\dot q, isso leva à equação diferencial de segunda ordem
L\,\ddot q + \frac{1}{C}\,q = 0.
Definimos a frequência natural do circuito como
\omega = \frac{1}{\sqrt{L\,C}}.
Então a EDO fica
\ddot q + \omega^2\,q = 0,
que é exatamente a equação do oscilador harmônico simples.

Passo 3

A solução geral de \ddot q + \omega^2 q=0 é
q(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t).
Usando as condições iniciais genéricas q(0)=q_0 e i(0)=\dot q(0)=i_0, vemos que A=q_0 e B=i_0/\omega. Logo
q(t) = q_0\cos(\omega t) + \frac{i_0}{\omega}\,\sin(\omega t).
A corrente no indutor é a derivada de q:
i(t) = \dot q(t) = -q_0\,\omega\sin(\omega t) + i_0\cos(\omega t).

Passo 4

A energia armazenada no capacitor é
U_C(t) = \frac{q(t)^2}{2C},
e a energia no indutor é
U_L(t) = \frac{1}{2}\,L\,i(t)^2.
Substituindo q(t) e i(t) nas fórmulas acima, obtemos duas funções periódicas de período T=2\pi/\omega. A soma
U_{\rm total}(t) = U_C(t) + U_L(t)
é constante, o que indica conservação de energia no circuito ideal.

Passo 5

Para visualizar, esboce no mesmo eixo de tempos:
q(t)\;\text{– curva senoidal de fase 0 (cosseno)},\quad i(t)\;\text{– senoidal defasada de }90^\circ,
U_C(t)\;\text{– varia entre }0\text{ e }q_0^2/(2C), \quad U_L(t)\;\text{– entre }0\text{ e }L\,i_0^2/2.
As energias oscilam entre o capacitor e o indutor, trocando-se completamente quando q(t)=0 (toda energia em U_L) ou quando i(t)=0 (toda energia em U_C). O total permanece sempre igual a
\frac{q_0^2}{2C} + \frac{L\,i_0^2}{2}.

Passo 6

A frequência \omega=1/\sqrt{LC} é a frequência natural de oscilação do circuito. Fisicamente, ela indica a rapidez com que o circuito troca energia entre campo elétrico do capacitor e campo magnético do indutor. Quanto menores L e C, maior será \omega e mais rápidas serão as oscilações de carga e corrente.

Resposta

q(t)= q_{0} cos(ωt)+( i_{0}/ω) sin(ωt)
i(t)=− q_{0} ω sin(ωt)+ i_{0} cos(ωt)
U_C(t)=q(t)²/(2C)
U_L(t)=½ L i(t) ^{2}\omega=1/√(LC)

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