Estude um circuito RLC em série e encontre expressões para a carga no capacitor e a corrente no indutor e resistor. Faça uma análise da mudança da frequência de oscilação em relação ao caso do item 18. Aborde os amortecimentos críticos e não críticos das oscilações das grandezas típicas.
Passo 1
O enunciado pede o estudo do circuito RLC em série, ou seja, temos um indutor
, um resistor
e um capacitor
ligados em série sem fonte externa, e queremos encontrar as expressões temporais da carga no capacitor
e da corrente que passa por todos os elementos
. O conteúdo envolvido é a equação diferencial de segunda ordem com amortecimento, típica de circuitos elétricos e sistemas massa-mola-amortecedor. Para resolver precisamos:
- Escrever a KVL e expressar
. - Montar a equação característica e identificar os parâmetros de amortecimento.
- Classificar os regimes (sobreamortecido, criticamente amortecido e subamortecido) e escrever
e em cada caso. - Comparar a frequência de oscilação amortecida com a frequência natural não amortecida
.
Passo 2
Aplicando KVL no laço série e lembrando que
, temos
Como
, isto vira
Divide-se por
para obter a forma padrão
onde definimos
O coeficiente de amortecimento adimensional é
Passo 3
Regime sobreamortecido
: as raízes da equação característica
são reais e distintas,
A solução geral para a carga é
e a corrente
Como é série, essa mesma
é a corrente no resistor e no indutor.
Passo 4
Regime criticamente amortecido
, isto é,
: as duas raízes coincidem em
e a solução fica
Não ocorrem oscilações, apenas decaimento exponencial “mais lento” que no sobreamortecido.
Passo 5
Regime subamortecido
: as raízes são complexas
A solução mais usada é
e daí
Essas expressões mostram oscilações amortecidas com frequência
.
Passo 6
Comparando com o caso não amortecido (item 18), em que
é a única frequência de oscilação, vemos que no caso subamortecido a frequência efetiva é
ou seja,
. Nos regimes crítico e sobreamortecido não há oscilações — a resposta é puramente real e decai sem oscilar.
Resposta
Em resumo, para o circuito RLC série livre:
- Equação diferencial:
- Sobreamortecido
:
- Criticamente amortecido
:
- Subamortecido
:
Assim, o amortecimento reduz a frequência de oscilação de
para
, e nos casos crítico e sobreamortecido não há oscilação.