Estude um circuito
LC e encontre expressões para a carga no capacitor, corrente no indutor e as energias no capacitor e indutor em função de
t. Faça um gráfico e interprete as curvas se comportam. Dê um significado físico para a frequência de oscilação
\omega.
LC e encontre expressões para a carga no capacitor, corrente no indutor e as energias no capacitor e indutor em função de
t. Faça um gráfico e interprete as curvas se comportam. Dê um significado físico para a frequência de oscilação
\omega.
Passo 1
O enunciado pede para estudar um circuito LC ideal (sem resistência) e obter, em função do tempo
:
– a carga no capacitor ,
– a corrente no indutor ,
– as energias armazenadas no capacitor e no indutor
,
além de esboçar graficamente essas grandezas e interpretar seu comportamento. O conteúdo principal é a análise de um oscilador harmônico elétrico, usando a segunda lei de Kirchhoff e noções de energia em elementos reativos.
– a carga no capacitor
– a corrente no indutor
– as energias armazenadas no capacitor
além de esboçar graficamente essas grandezas e interpretar seu comportamento. O conteúdo principal é a análise de um oscilador harmônico elétrico, usando a segunda lei de Kirchhoff e noções de energia em elementos reativos.
Passo 2
Aplicamos a lei de Kirchhoff ao laço LC. Denotando por
a carga no capacitor e por
a corrente que passa pelo indutor, temos soma das quedas de tensão igual a zero:
Como
, isso leva à equação diferencial de segunda ordem
Definimos a frequência natural do circuito como
Então a EDO fica
que é exatamente a equação do oscilador harmônico simples.
Passo 3
A solução geral de
é
Usando as condições iniciais genéricas
e
, vemos que
e
. Logo
A corrente no indutor é a derivada de
:
Passo 4
A energia armazenada no capacitor é
e a energia no indutor é
Substituindo
e
nas fórmulas acima, obtemos duas funções periódicas de período
. A soma
é constante, o que indica conservação de energia no circuito ideal.
Passo 5
Para visualizar, esboce no mesmo eixo de tempos:
As energias oscilam entre o capacitor e o indutor, trocando-se completamente quando
(toda energia em
) ou quando
(toda energia em
). O total permanece sempre igual a
Passo 6
A frequência
é a frequência natural de oscilação do circuito. Fisicamente, ela indica a rapidez com que o circuito troca energia entre campo elétrico do capacitor e campo magnético do indutor. Quanto menores
e
, maior será
e mais rápidas serão as oscilações de carga e corrente.
Resposta
q(t)=
cos(ωt)+(
/ω) sin(ωt)
i(t)=− ω sin(ωt)+
cos(ωt)
(t)=q(t)²/(2C)
(t)=½ L i(t)
/√(LC)
i(t)=−