Estude o comportamento da função
em torno de
, nos casos:
Passo 1
O enunciado pede que eu estude o comportamento da função em torno de
. As informações do problema são:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - Observação imediata: o denominador
anula-se em , portanto a função não está definida nesses pontos (domínio: todos os reais exceto ).
O que preciso responder: comportamento de
quando
se aproxima de
(limites laterais, tipo de descontinuidade, assíntota vertical, sinal do infinito, etc.).
Passo 2
Verificar se há cancelamento que torne a função definível em
. Escrevo o denominador fatorado:
Portanto
Avalio o numerador em
:
Como o numerador não se anula em
, não há fator
que cancele o denominador. Conclusão:
não é definível em
por cancelamento; espera-se uma descontinuidade não removível.
Passo 3
Para analisar a ordem da singularidade, multiplico
por
e vejo o limite:
Como o denominador
é contínuo e vale
em
, posso avaliar o limite direto:
Isto mostra que, quando
está muito próximo de
, a função
tem comportamento assintótico dado por
ou seja, o termo dominante é proporcional a
.
Passo 4
A partir de
podemos determinar os limites laterais:
- Para
temos . Então e, multiplicando por , obtemos
- Para
temos . Então e, multiplicando por , obtemos
Posso também explicar com análise de sinal direta: perto de
o numerador é aproximadamente
(negativo) e o denominador
tem o mesmo sinal de
porque
é positivo cerca de
. Assim, para
o denominador é negativo, quociente negativo/negativo dá positivo (tende a
); para
o denominador é positivo, quociente negativo/positivo dá negativo (tende a
).
Passo 5
Classificação da descontinuidade e assíntota:
- Em
a função tem uma descontinuidade infinita (não removível): as duas limites laterais são infinitos e de sinais opostos. - Há uma assíntota vertical em
. - Comportamento assintótico refinado:
quando .
Força aí! A ideia principal para usar na prova: se o numerador não zera quando o denominador zera, então a função tende ao infinito; multiplicar por
como fiz ajuda a encontrar o coeficiente principal e a determinar o sinal dos infinitos.