Estude o comportamento da função h em torno de x_{0}, nos casos:
h(x)=\left(2 x^{3}-3\right) /\left(x^{2}-1\right), x_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede que eu estude o comportamento da função em torno de x_{0}=1. As informações do problema são:
  • A função é h(x)=\dfrac{2x^{3}-3}{x^{2}-1}.
  • O ponto de interesse é x_{0}=1.
  • Observação imediata: o denominador x^{2}-1 anula-se em x=\pm 1, portanto a função não está definida nesses pontos (domínio: todos os reais exceto x=\pm 1).
O que preciso responder: comportamento de h quando x se aproxima de 1 (limites laterais, tipo de descontinuidade, assíntota vertical, sinal do infinito, etc.).

Passo 2

Verificar se há cancelamento que torne a função definível em x=1. Escrevo o denominador fatorado:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Portanto
h(x)=\frac{2x^{3}-3}{(x-1)(x+1)}.
Avalio o numerador em x=1:
2\cdot1^{3}-3=2-3=-1\neq 0.
Como o numerador não se anula em x=1, não há fator (x-1) que cancele o denominador. Conclusão: h não é definível em x=1 por cancelamento; espera-se uma descontinuidade não removível.

Passo 3

Para analisar a ordem da singularidade, multiplico h(x) por (x-1) e vejo o limite:
(x-1)h(x)=\frac{2x^{3}-3}{x+1}.
Como o denominador x+1 é contínuo e vale 2 em x=1, posso avaliar o limite direto:
\lim_{x\to1}\,(x-1)h(x)=\frac{2\cdot1^{3}-3}{1+1}=\frac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2}.
Isto mostra que, quando x está muito próximo de 1, a função h(x) tem comportamento assintótico dado por
h(x)\sim -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1},
ou seja, o termo dominante é proporcional a (x-1)^{-1}.

Passo 4

A partir de h(x)\sim -\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x-1} podemos determinar os limites laterais:
  • Para x\to1^{-} temos x-1<0. Então \dfrac{1}{x-1}\to -\infty e, multiplicando por -\tfrac{1}{2}, obtemos
\lim_{x\to1^{-}} h(x)=+\infty.
  • Para x\to1^{+} temos x-1>0. Então \dfrac{1}{x-1}\to +\infty e, multiplicando por -\tfrac{1}{2}, obtemos
\lim_{x\to1^{+}} h(x)=-\infty.
Posso também explicar com análise de sinal direta: perto de 1 o numerador é aproximadamente -1 (negativo) e o denominador (x^{2}-1)=(x-1)(x+1) tem o mesmo sinal de (x-1) porque x+1 é positivo cerca de 1. Assim, para x<1 o denominador é negativo, quociente negativo/negativo dá positivo (tende a +\infty); para x>1 o denominador é positivo, quociente negativo/positivo dá negativo (tende a -\infty).

Passo 5

Classificação da descontinuidade e assíntota:
  • Em x=1 a função tem uma descontinuidade infinita (não removível): as duas limites laterais são infinitos e de sinais opostos.
  • Há uma assíntota vertical em x=1.
  • Comportamento assintótico refinado: h(x)=-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x-1}+o\!\big(\dfrac{1}{x-1}\big) quando x\to1.
Força aí! A ideia principal para usar na prova: se o numerador não zera quando o denominador zera, então a função tende ao infinito; multiplicar por (x-1) como fiz ajuda a encontrar o coeficiente principal e a determinar o sinal dos infinitos.

Resposta

\lim_{x\to1^{-}} h(x)=+\infty
\lim_{x\to1^{+}} h(x)=-\infty
h não está definida em x=1; há uma assíntota vertical em x=1.

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