Existe alguma diferença entre
e
?
Passo 1
O enunciado apresenta duas expressões de integrais e pergunta se há diferença entre elas. As duas integrais são:
O que é pedido: dizer se há diferença entre essas duas integrais e, se houver, explicar claramente qual é a diferença e por quê.
Informações relevantes dadas:
- Nas expressões aparece uma soma
e duas variáveis e . - Em cada integral o diferencial (
ou ) indica com respeito a qual variável se está integrando.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): variável de integração e parâmetros.
- A variável indicada no diferencial (por exemplo
) é a variável em relação à qual se integra; tudo o que não depende dessa variável é tratado como constante durante a integração. - Em integrais indefinidas de funções que têm outras variáveis “extras”, o termo “constante de integração” pode, na verdade, ser uma função dessas outras variáveis (porque ao derivar em relação à variável de integração essa função desaparece).
- Em integrais definidas, a variável de integração é um nome “agregado” (dummy): pode-se trocar
por ou por qualquer outra letra desde que as outras ocorrências sejam coerentes; porém, se o integrando contém duas letras diferentes, uma delas age como parâmetro e a escolha do diferencial determina qual é a variável e qual é o parâmetro.
Passo 3
Calcular a primeira integral tratando
como constante (integração em relação a
):
Aqui
.
Como é constante em relação a
,
.
Além disso, a “constante” de integração pode depender de , então escrevemos
. Assim:
Como
Além disso, a “constante” de integração pode depender de
Passo 4
Calcular a segunda integral tratando
como constante (integração em relação a
):
Aqui
.
Como é constante em relação a
,
.
A constante de integração pode depender de , então escrevemos
. Assim:
Como
A constante de integração pode depender de
Passo 5
Comparação direta:
- A primaira antiderivada é
. - A segunda antiderivada é
.
Essas duas expressões são, em geral, diferentes como funções de
e
. Mesmo ignorando as constantes, os termos principais não coincidem: um tem
e o outro tem
; um tem
e o outro
. Portanto, em geral há diferença.
Passo 6
Observações sobre casos especiais e notação:
- Se
for um parâmetro fixo (constante numérica), então é uma função de (com parâmetro ). - Se
for um parâmetro fixo, é uma função de (com parâmetro ). - Se por acaso
e forem a mesma variável (isto é, se realmente for imposto), as duas integrais passam a representar a mesma operação (por exemplo ambas virariam ), mas isso é mudar a hipótese do problema; enquanto e forem símbolos distintos, o papel que cada um desempenha depende do diferencial.
Passo 7
Nota sobre integrais definidas:
- Para integrais definidas onde a variável de integração é um “nome” dummy, renomear o diferencial não altera o valor se o integrando depender somente dessa variável. Por exemplo
. - Porém, se o integrando contém simultaneamente
e , então e são distintos porque em um caso é parâmetro e em outro caso é parâmetro; seus resultados serão diferentes em geral.
Passo 8
Regra prática rápida para a prova (fixar na cabeça):
- O diferencial (
, , etc.) indica com respeito a qual variável integrar. Tudo que não depende dessa variável é tratado como constante. - Em integrais indefinidas, a “constante” pode ser uma função das outras variáveis presentes.
- Sempre escreva claramente qual é a variável de integração para evitar confusão.
Resposta
Sim. Em geral elas são diferentes.