Existe alguma diferença entre \int x^{2}+t^{2} d x e \int x^{2}+t^{2} d t ?

Passo 1

O enunciado apresenta duas expressões de integrais e pergunta se há diferença entre elas. As duas integrais são:
  • \displaystyle \int (x^{2}+t^{2})\,dx
  • \displaystyle \int (x^{2}+t^{2})\,dt
O que é pedido: dizer se há diferença entre essas duas integrais e, se houver, explicar claramente qual é a diferença e por quê.
Informações relevantes dadas:
  • Nas expressões aparece uma soma x^{2}+t^{2} e duas variáveis x e t.
  • Em cada integral o diferencial ( dx ou dt) indica com respeito a qual variável se está integrando.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): variável de integração e parâmetros.
  • A variável indicada no diferencial (por exemplo dx) é a variável em relação à qual se integra; tudo o que não depende dessa variável é tratado como constante durante a integração.
  • Em integrais indefinidas de funções que têm outras variáveis “extras”, o termo “constante de integração” pode, na verdade, ser uma função dessas outras variáveis (porque ao derivar em relação à variável de integração essa função desaparece).
  • Em integrais definidas, a variável de integração é um nome “agregado” (dummy): pode-se trocar x por t ou por qualquer outra letra desde que as outras ocorrências sejam coerentes; porém, se o integrando contém duas letras diferentes, uma delas age como parâmetro e a escolha do diferencial determina qual é a variável e qual é o parâmetro.

Passo 3

Calcular a primeira integral tratando t como constante (integração em relação a x):
\int (x^{2}+t^{2})\,dx = \int x^{2}\,dx + \int t^{2}\,dx.
Aqui \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}.
Como t^{2} é constante em relação a x, \int t^{2}\,dx = t^{2}\int dx = t^{2}x.
Além disso, a “constante” de integração pode depender de t, então escrevemos +C_{1}(t). Assim:
\int (x^{2}+t^{2})\,dx = \dfrac{x^{3}}{3} + t^{2}x + C_{1}(t).

Passo 4

Calcular a segunda integral tratando x como constante (integração em relação a t):
\int (x^{2}+t^{2})\,dt = \int x^{2}\,dt + \int t^{2}\,dt.
Aqui \int t^{2}\,dt = \dfrac{t^{3}}{3}.
Como x^{2} é constante em relação a t, \int x^{2}\,dt = x^{2}\int dt = x^{2}t.
A constante de integração pode depender de x, então escrevemos +C_{2}(x). Assim:
\int (x^{2}+t^{2})\,dt = x^{2}t + \dfrac{t^{3}}{3} + C_{2}(x).

Passo 5

Comparação direta:
  • A primaira antiderivada é \dfrac{x^{3}}{3} + t^{2}x + C_{1}(t).
  • A segunda antiderivada é x^{2}t + \dfrac{t^{3}}{3} + C_{2}(x).
Essas duas expressões são, em geral, diferentes como funções de x e t. Mesmo ignorando as constantes, os termos principais não coincidem: um tem \dfrac{x^{3}}{3} e o outro tem \dfrac{t^{3}}{3}; um tem t^{2}x e o outro x^{2}t. Portanto, em geral há diferença.

Passo 6

Observações sobre casos especiais e notação:
  • Se t for um parâmetro fixo (constante numérica), então \int (x^{2}+t^{2})\,dx é uma função de x (com parâmetro t).
  • Se x for um parâmetro fixo, \int (x^{2}+t^{2})\,dt é uma função de t (com parâmetro x).
  • Se por acaso t e x forem a mesma variável (isto é, se realmente t=x for imposto), as duas integrais passam a representar a mesma operação (por exemplo ambas virariam \int 2x^{2}\,dx), mas isso é mudar a hipótese do problema; enquanto x e t forem símbolos distintos, o papel que cada um desempenha depende do diferencial.

Passo 7

Nota sobre integrais definidas:
  • Para integrais definidas onde a variável de integração é um “nome” dummy, renomear o diferencial não altera o valor se o integrando depender somente dessa variável. Por exemplo \int_{a}^{b} u^{2}\,du = \int_{a}^{b} t^{2}\,dt.
  • Porém, se o integrando contém simultaneamente x e t, então \int_{a}^{b} (x^{2}+t^{2})\,dx e \int_{a}^{b} (x^{2}+t^{2})\,dt são distintos porque em um caso t é parâmetro e em outro caso x é parâmetro; seus resultados serão diferentes em geral.

Passo 8

Regra prática rápida para a prova (fixar na cabeça):
  • O diferencial ( dx, dt, etc.) indica com respeito a qual variável integrar. Tudo que não depende dessa variável é tratado como constante.
  • Em integrais indefinidas, a “constante” pode ser uma função das outras variáveis presentes.
  • Sempre escreva claramente qual é a variável de integração para evitar confusão.

Resposta

Sim. Em geral elas são diferentes.
\displaystyle \int (x^{2}+t^{2})\,dx = \dfrac{x^{3}}{3} + t^{2}x + C_{1}(t)
\displaystyle \int (x^{2}+t^{2})\,dt = x^{2}t + \dfrac{t^{3}}{3} + C_{2}(x)

Exercícios relacionados