A função
admite um valor máximo no intervalo
. Usando um processo de interpolação quadrática, obtenha uma aproximação para este valor. Tabele a função com espaçamento
entre os pontos para construir o polinômio.
9. Considere a função
tabelada nos pontos a seguir:
1
2
3
4
5
6
7
0.91
1.43
1.58
1.55
1.44
1.30
1.18
a) Obtenha uma aproximação para o valor máximo de
usando interpolação quadrática. Justifique a escolha dos pontos.
b) Usando interpolação linear, obtenha uma aproximação para a solução da equação
no intervalo
.
9. Considere a função
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|
|
0.91 | 1.43 | 1.58 | 1.55 | 1.44 | 1.30 | 1.18 |
b) Usando interpolação linear, obtenha uma aproximação para a solução da equação
Passo 1
Vou separar claramente o que cada parte do enunciado pede e quais são os dados disponíveis.
- Problema A (primeiro enunciado): A função
admite um valor máximo no intervalo
. O enunciado pede: usando um processo de interpolação quadrática, obter uma aproximação para esse valor máximo. Foi pedido também tabelar a função com espaçamento
entre os pontos para construir o polinômio. Portanto, preciso:
-
Construir uma tabela de
em . -
Escolher três pontos (consecutivos) adequados para montar um polinômio quadrático e estimar a posição do máximo (o zero da derivada do polinômio).
-
Problema 9 (tabela dada):
- Dados: para
tem-se
- (a) Obter aproximação para o valor máximo de
usando interpolação quadrática e justificar a escolha dos pontos. - (b) Usando interpolação linear, aproximar a solução da equação
no intervalo .
- Dados: para
Agora que está claro o que se pede e os dados, começo a resolução passo a passo.
Passo 2
Tabelando
com
em
e calculando os valores (cada número está em notação decimal com vírgula):
-
: , . Logo -
: , . Logo -
: , . Logo -
: , . Logo -
: , . Logo
Observação rápida: entre esses valores
é o maior (aprox.
), então faz sentido escolher pontos em torno de
para a interpolação quadrática.
Passo 3
Explicar a fórmula prática para encontrar o extremo (máximo/minimo) do polinômio quadrático interpolador construído com três pontos igualmente espaçados.
Considere três pontos igualmente espaçados
com valores
. Seja
o polinômio quadrático interpolador em coordenada centrada em
. Em coordenada adimensional
tem-se
com condições
. Destas resulta
O extremo (derivada nula) ocorre quando
, isto é
Voltando para
,
Esta é a fórmula prática para a abscissa do extremo do polinômio quadrático interpolador quando os nós são igualmente espaçados. Para obter o valor extremo
pode-se usar
Eu vou aplicar exatamente estas fórmulas aos dados.
Passo 4
Aplicação ao Problema A (função trigonométrica) — escolha dos pontos e cálculo da abscissa do máximo.
Escolhi os três pontos igualmente espaçados em torno do pico observado:
com
. Seus valores (pegos da tabela do Passo 2) são
Calculo agora
pela fórmula:
Portanto
O denominador
. Assim
e então
Passo 5
Calcular o valor máximo aproximado do polinômio quadrático (e verificar com a função original).
Usando a fórmula do valor extremo do interpolador:
Logo
Calculando
e
, obtemos
portanto
Verificação rápida avaliando
na abscissa
com expansão (ou diretamente):
, consistente com o valor do polinômio interpolador. Conclusão: a interpolação quadrática indica um máximo aproximado em
com valor
.
Passo 6
Resumo do resultado do Problema A (antes da resposta final): o polinômio quadrático construído com os pontos
dá o extremo em
(A escolha desses três pontos foi justificada porque
era o maior valor na tabela e queremos interpolar em torno do pico observado.)
Passo 7
Agora resolvo o Problema 9 (tabela). Relembro a tabela (dados fornecidos no enunciado):
Passo 8
Parte (a) — aproximação do máximo por interpolação quadrática e justificativa da escolha dos pontos.
Observando os valores, o maior valor da tabela é
. Os pontos vizinhos
tem
e
tem
. Portanto é natural escolher os três pontos consecutivos
(com espaçamento
) para construir o polinômio quadrático ao redor do máximo observado. Essa escolha é justificada porque queremos interpolar localmente no entorno do pico observado em
.
Passo 9
Aplicando a fórmula (nós temos
,
,
,
):
Calcule
Então
Para o valor máximo estimado:
Portanto a interpolação quadrática estima o máximo aproximadamente em
com valor
.
Passo 10
Parte (b) — encontrar por interpolação linear a solução de
no intervalo
.
Primeiro identifique um subintervalo onde haja troca de sinal entre
: calcule
(negativo) e
(positivo). Como há troca de sinal entre
e
, existe pelo menos uma raiz no intervalo
. Não é necessário procurar outro intervalo dentro de
porque os valores seguintes permanecem maiores que
(por exemplo
), assim a raiz única em
está entre 1 e 2.
Usando interpolação linear entre os pontos
e
: a fórmula é
com
,
. Logo
Passo 11
Interpretação final e checagens breves:
-
Problema A: a interpolação quadrática local em torno de
deslocou um pouco a abscissa do máximo para a direita até e estimou o valor máximo em aproximadamente . Isso é coerente com avaliar a função original em . -
Problema 9:
- (a) A escolha dos pontos
foi natural porque tem o maior na tabela e usamos os três pontos consecutivos para um interpolador quadrático local. Resultado: máximo aproximado em com . - (b) Para a equação
há troca de sinal entre e ; interpolação linear nesse intervalo dá .
- (a) A escolha dos pontos
Resposta
Para
:
9(a)
9(b)