Estude a continuidade da função:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c} \frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O que nos pedem é estudar a continuidade de f: ou seja, verificar em quais pontos f é contínua e em quais não é. As informações relevantes são a expressão de f fora da origem e o valor atribuído em (0,0).]

Passo 2

Lembrete prático do que é continuidade em um ponto: a função f é contínua em um ponto (a,b) se e somente se
\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).
Isto significa que, quando (x,y) se aproxima de (a,b) por qualquer caminho, os valores f(x,y) devem se aproximar exatamente do valor f(a,b). Se o limite não existir ou for diferente de f(a,b), então f não é contínua nesse ponto. Vamos aplicar isso primeiro aos pontos fora da origem e depois à origem.

Passo 3

Continuidade em pontos (x,y)\neq(0,0).
Explicação didática: polinômios em x e y (como x^{2},y^{2},xy) são funções contínuas; quociente de duas funções contínuas é contínuo sempre que o denominador não é zero. Aqui, para (x,y)\neq(0,0) temos x^{2}+y^{2}>0, portanto o denominador é não nulo. Logo a expressão
\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}
é uma razão de polinômios com denominador estritamente positivo, portanto é contínua em qualquer ponto (x,y)\neq(0,0). Conclusão: f é contínua em todo ponto fora da origem.

Passo 4

Análise do limite em (0,0) — ideia geral.
Precisamos calcular (ou verificar existência de)
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}.
Se esse limite existir e for igual a 0 (porque f(0,0)=0), então f seria contínua na origem; caso contrário, não é contínua. Uma maneira eficiente para funções de duas variáveis é verificar se o valor do quociente depende da direção pela qual nos aproximamos da origem. Se depender da direção, o limite não existe.

Passo 5

Cálculo usando coordenadas polares (método didático e muito prático aqui).
Troca para coordenadas polares: escrevemos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge0 e \theta o ângulo. Substituindo em f para (x,y)\neq(0,0) (ou seja, r>0):
\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{2(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta}.
Agora simplificamos: no numerador temos 2r^{2}\cos\theta\sin\theta e no denominador r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r^{2}. Cancelando r^{2} (válido para r>0) obtemos
\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}=2\cos\theta\sin\theta=\sin(2\theta).
Interpretação: para qualquer ponto distinto da origem, o valor de f(x,y) depende só do ângulo \theta, não de r. Ao aproximarmos a origem (ou seja, fazendo r\to0), a expressão \sin(2\theta) não muda com r; portanto o “valor limite” ao aproximar a origem depende do ângulo \theta pelo qual aproximamos. Como isso varia com \theta, o limite quando (x,y)\to(0,0) não pode existir (porque caminhos com ângulos diferentes dão valores diferentes).

Passo 6

Exemplos concretos de caminhos (para fixar a ideia).
Uma verificação direta usando retas y=mx também mostra dependência da direção. Se y=mx (com m fixo), então
\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{2x(mx)}{x^{2}+(mx)^{2}}=\frac{2m x^{2}}{x^{2}(1+m^{2})}=\frac{2m}{1+m^{2}},
que é independente de x. Assim, ao aproximar x\to0 ao longo da reta y=mx, o valor tende a \dfrac{2m}{1+m^{2}}. Para diferentes m obtemos diferentes limites; por exemplo:
\text{se }m=0\\ (\text{eixo }x),\\ \lim = 0;
\text{se }m=1\\ (y=x),\\ \lim = \frac{2\cdot1}{1+1}=1;
\text{se }m=-1\\ (y=-x),\\ \lim = \frac{2\cdot(-1)}{1+1}=-1.
Como obtemos valores distintos ao aproximar por caminhos diferentes, o limite em (0,0) não existe.
Essa conclusão coincide com o resultado polar, pois \sin(2\theta) assume valores diferentes para ângulos distintos (por exemplo, \theta=0 0, \theta=\pi/4 1, \theta=-\pi/4 -1).

Passo 7

Conclusão sobre continuidade.
  • Para todo (x,y)\neq(0,0): f é contínua (razão de polinômios com denominador positivo).
  • Em (0,0): como o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{2xy}{x^{2}+y^{2}} não existe (depende da direção), não é igual a f(0,0)=0. Portanto f não é contínua em (0,0).

Resposta

f é contínua em todo ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0).\n f não é contínua em (0,0) (o limite não existe).

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