O que nos pedem é estudar a continuidade de f: ou seja, verificar em quais pontos f é contínua e em quais não é. As informações relevantes são a expressão de f fora da origem e o valor atribuído em (0,0).]
Passo 2
Lembrete prático do que é continuidade em um ponto: a função f é contínua em um ponto (a,b) se e somente se
\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).
Isto significa que, quando (x,y) se aproxima de (a,b) por qualquer caminho, os valores f(x,y) devem se aproximar exatamente do valor f(a,b). Se o limite não existir ou for diferente de f(a,b), então f não é contínua nesse ponto. Vamos aplicar isso primeiro aos pontos fora da origem e depois à origem.
Passo 3
Continuidade em pontos (x,y)\neq(0,0).
Explicação didática: polinômios em x e y (como x^{2},y^{2},xy) são funções contínuas; quociente de duas funções contínuas é contínuo sempre que o denominador não é zero. Aqui, para (x,y)\neq(0,0) temos x^{2}+y^{2}>0, portanto o denominador é não nulo. Logo a expressão
\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}
é uma razão de polinômios com denominador estritamente positivo, portanto é contínua em qualquer ponto (x,y)\neq(0,0). Conclusão: f é contínua em todo ponto fora da origem.
Passo 4
Análise do limite em (0,0) — ideia geral.
Precisamos calcular (ou verificar existência de)
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}.
Se esse limite existir e for igual a 0 (porque f(0,0)=0), então f seria contínua na origem; caso contrário, não é contínua. Uma maneira eficiente para funções de duas variáveis é verificar se o valor do quociente depende da direção pela qual nos aproximamos da origem. Se depender da direção, o limite não existe.
Passo 5
Cálculo usando coordenadas polares (método didático e muito prático aqui).
Troca para coordenadas polares: escrevemos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge0 e \theta o ângulo. Substituindo em f para (x,y)\neq(0,0) (ou seja, r>0):
Agora simplificamos: no numerador temos 2r^{2}\cos\theta\sin\theta e no denominador r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r^{2}. Cancelando r^{2} (válido para r>0) obtemos
Interpretação: para qualquer ponto distinto da origem, o valor de f(x,y) depende só do ângulo \theta, não de r. Ao aproximarmos a origem (ou seja, fazendo r\to0), a expressão \sin(2\theta) não muda com r; portanto o “valor limite” ao aproximar a origem depende do ângulo \theta pelo qual aproximamos. Como isso varia com \theta, o limite quando (x,y)\to(0,0) não pode existir (porque caminhos com ângulos diferentes dão valores diferentes).
Passo 6
Exemplos concretos de caminhos (para fixar a ideia).
Uma verificação direta usando retas y=mx também mostra dependência da direção. Se y=mx (com m fixo), então
que é independente de x. Assim, ao aproximar x\to0 ao longo da reta y=mx, o valor tende a \dfrac{2m}{1+m^{2}}. Para diferentes m obtemos diferentes limites; por exemplo:
Como obtemos valores distintos ao aproximar por caminhos diferentes, o limite em (0,0) não existe.
Essa conclusão coincide com o resultado polar, pois \sin(2\theta) assume valores diferentes para ângulos distintos (por exemplo, \theta=0 dá 0, \theta=\pi/4 dá 1, \theta=-\pi/4 dá -1).
Passo 7
Conclusão sobre continuidade.
Para todo (x,y)\neq(0,0): f é contínua (razão de polinômios com denominador positivo).
Em (0,0): como o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{2xy}{x^{2}+y^{2}} não existe (depende da direção), não é igual a f(0,0)=0. Portanto f não é contínua em (0,0).
Resposta
f é contínua em todo ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0).\nf não é contínua em (0,0) (o limite não existe).