Prove, usando fatoração, que
Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações explícitas que temos:
- A expressão contém
e , então só faz sentido (no caso real) aproximar por pares com e . Portanto vamos considerar a aproximação por pontos em . - O numerador é
e o denominador é . - O objetivo é provar, usando fatoração, que esse limite vale
.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o numerador para simplificar a expressão. Observe que
Escrevi essa fatoração porque
tem fator comum
.
Passo 3
Agora vamos “racionalizar” o denominador (técnica muito usada quando aparece diferença de raízes). Multiplicamos numerador e denominador por
:
No denominador aparece o produto notável
portanto, para
tais que
(pontos próximos de
mas não com
), podemos cancelar
e obter
Isso mostra que, exceto na diagonal
(onde a expressão original é uma forma
), a função coincide com
. Para o cálculo do limite isso basta, pois limites consideram valores arbitrariamente próximos, não necessariamente o valor no ponto.
Passo 4
Para ver mais claramente o comportamento quando
é conveniente fazer a substituição
com
. Então
e
e a expressão simplificada fica
Portanto estudar
é equivalente a estudar
com
.
Passo 5
Agora mostramos que
. Uma maneira clara é usar desigualdades: para
Logo
Como
implica
, temos
. Pelo princípio do confronto (squeeze), segue que
. Alternativamente, note que
e
porque são produtos de fatores que vão a zero, logo a soma tende a zero.
Passo 6
Voltando às variáveis originais, concluímos que, ao aproximar
por pares não negativos próximos de
, a expressão simplificada tende a
. Portanto o limite pedido é
.
Resposta
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