Prove, usando fatoração, que
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=0

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}.
Informações explícitas que temos:
  • A expressão contém \sqrt{x} e \sqrt{y}, então só faz sentido (no caso real) aproximar (x,y) por pares com x\ge 0 e y\ge 0. Portanto vamos considerar a aproximação por pontos em [0,\infty)\times[0,\infty).
  • O numerador é x^{2}-x y e o denominador é \sqrt{x}-\sqrt{y}.
  • O objetivo é provar, usando fatoração, que esse limite vale 0.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o numerador para simplificar a expressão. Observe que
x^{2}-x y = x(x-y).
Escrevi essa fatoração porque x^{2}-x y tem fator comum x.

Passo 3

Agora vamos “racionalizar” o denominador (técnica muito usada quando aparece diferença de raízes). Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x}+\sqrt{y}:
\frac{x^{2}-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{x(x-y)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{x(x-y)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.
No denominador aparece o produto notável
(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}) = x-y,
portanto, para (x,y) tais que x\neq y (pontos próximos de (0,0) mas não com x=y), podemos cancelar x-y e obter
\frac{x^{2}-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = x(\sqrt{x}+\sqrt{y}).
Isso mostra que, exceto na diagonal x=y (onde a expressão original é uma forma 0/0), a função coincide com x(\sqrt{x}+\sqrt{y}). Para o cálculo do limite isso basta, pois limites consideram valores arbitrariamente próximos, não necessariamente o valor no ponto.

Passo 4

Para ver mais claramente o comportamento quando (x,y)\to(0,0) é conveniente fazer a substituição
r=\sqrt{x},\qquad s=\sqrt{y},
com r,s\ge 0. Então x=r^{2} e y=s^{2} e a expressão simplificada fica
x(\sqrt{x}+\sqrt{y}) = r^{2}(r+s) = r^{3}+r^{2}s.
Portanto estudar
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}
é equivalente a estudar
\lim_{(r,s)\to(0,0)} \big(r^{3}+r^{2}s\big),
com r,s\ge 0.

Passo 5

Agora mostramos que \lim_{(r,s)\to(0,0)} \big(r^{3}+r^{2}s\big)=0. Uma maneira clara é usar desigualdades: para r,s\ge 0
0 \le r^{3}+r^{2}s \le r^{3}+r^{2}s + 3r s^{2}+s^{3} = (r+s)^{3}.
Logo
0 \le r^{3}+r^{2}s \le (r+s)^{3}.
Como (r,s)\to(0,0) implica r+s\to 0, temos (r+s)^{3}\to 0. Pelo princípio do confronto (squeeze), segue que r^{3}+r^{2}s\to 0. Alternativamente, note que r^{3}\to 0 e r^{2}s\to 0 porque são produtos de fatores que vão a zero, logo a soma tende a zero.

Passo 6

Voltando às variáveis originais, concluímos que, ao aproximar (x,y) por pares não negativos próximos de (0,0), a expressão simplificada tende a 0. Portanto o limite pedido é 0.

Resposta

0

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