Estude a convergência (condicional e absoluta) das séries a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência, tanto absoluta quanto condicional, da série
Informações dadas importantes:
- O termo geral da série é
com
- A soma começa em
.
O que precisamos determinar: - Se a série converge absolutamente (isto é, se
converge). - Se a série converge condicionalmente (converge, mas não absolutamente).
Passo 2
Verificar o limite do termo geral (condição necessária para convergência de qualquer série):
Calculemos
Calculemos
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
pois o denominador cresce como
enquanto o numerador tende a
. Conclusão:
. Isso é necessário, mas não suficiente, para a convergência.
Passo 3
Explicar o teste de Leibniz (alternating series test) de forma didática:
O teste diz que a série converge se:
O teste diz que a série
-
para todo suficientemente grande; -
é monotonicamente decrescente a partir de algum (ou seja, para ); -
.
Aqui. Já verificamos o item 3. Agora vamos verificar itens 1 e 2 para poder aplicar o teste e concluir convergência alternada.
Passo 4
Verificar que os
são positivos para
:
Para temos
e
, logo
Para
Passo 5
Verificar a monotonicidade eventual de
(mostrar que a sequência é decrescente a partir de algum
):
Considere a função contínua
Considere a função contínua
de modo que
. Calculemos a derivada para estudar se
é decrescente:
O numerador simplifica-se assim:
Logo
Analisando o sinal do numerador
: as raízes da equação
são
A raiz positiva vale aproximadamente
. Portanto
para
e
para
. Em particular, para
temos
, logo
para
. Conclusão:
é decrescente em
, o que implica que a sequência
é decrescente a partir de
.
Passo 6
Aplicar o teste de Leibniz:
Temos mostrado:
Temos mostrado:
-
para , -
é decrescente para , -
.
Logo, pela regra de Leibniz, a série alternada
converge. Então a série original converge (pelo teste de Leibniz).
Passo 7
Estudar a convergência absoluta usando comparação assintótica (teste da comparação limite):
A série converge absolutamente se convergir. Compare
com
. Calcule o limite
A série converge absolutamente se
Esse limite é finito e positivo (
). Pelo critério da comparação limite,
tem o mesmo comportamento de
. Como
(a série harmônica) diverge, segue que
diverge. Portanto a série não converge absolutamente.
Passo 8
Conclusão final e interpretação:
- A série
converge (pelo teste de Leibniz para séries alternadas). - A série não converge absolutamente (porque
diverge por comparação com a série harmônica).
Resposta
Convergência absoluta: diverge (não converge absolutamente).
Convergência condicional: converge condicionalmente.
Convergência condicional: converge condicionalmente.