Estude a convergência (condicional e absoluta) das séries a seguir:
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{5 n-1}{n^{2}+3 n+7}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência, tanto absoluta quanto condicional, da série
\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{5n-1}{n^{2}+3n+7}.
Informações dadas importantes:
  • O termo geral da série é (-1)^{n} a_{n} com
a_{n}=\frac{5n-1}{n^{2}+3n+7}.
  • A soma começa em n=2.
    O que precisamos determinar:
  • Se a série converge absolutamente (isto é, se \sum_{n=2}^{\infty} |(-1)^n a_n|=\sum_{n=2}^{\infty} a_n converge).
  • Se a série converge condicionalmente (converge, mas não absolutamente).

Passo 2

Verificar o limite do termo geral (condição necessária para convergência de qualquer série):
Calculemos
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{5n-1}{n^{2}+3n+7}.
Dividindo numerador e denominador por n obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{5-\frac{1}{n}}{n+3+\frac{7}{n}}=0,
pois o denominador cresce como n enquanto o numerador tende a 5. Conclusão: \lim_{n\to\infty} a_{n}=0. Isso é necessário, mas não suficiente, para a convergência.

Passo 3

Explicar o teste de Leibniz (alternating series test) de forma didática:
O teste diz que a série \sum (-1)^{n} b_{n} converge se:
  1. b_{n}\ge 0 para todo n suficientemente grande;
  2. (b_{n}) é monotonicamente decrescente a partir de algum N (ou seja, b_{n+1}\le b_{n} para n\ge N);
  3. \lim_{n\to\infty} b_{n}=0.
    Aqui b_{n}=a_{n}. Já verificamos o item 3. Agora vamos verificar itens 1 e 2 para poder aplicar o teste e concluir convergência alternada.

Passo 4

Verificar que os b_{n} são positivos para n\ge2:
Para n\ge2 temos 5n-1>0 e n^{2}+3n+7>0, logo
b_{n}=\frac{5n-1}{n^{2}+3n+7}>0 \quad\text{para } n\ge2.

Passo 5

Verificar a monotonicidade eventual de b_{n} (mostrar que a sequência é decrescente a partir de algum N):
Considere a função contínua
f(x)=\frac{5x-1}{x^{2}+3x+7},\qquad x\ge2,
de modo que b_{n}=f(n). Calculemos a derivada para estudar se f é decrescente:
f'(x)=\frac{5(x^{2}+3x+7)-(5x-1)(2x+3)}{(x^{2}+3x+7)^{2}}.
O numerador simplifica-se assim:
5x^{2}+15x+35-(10x^{2}+13x-3)=-5x^{2}+2x+38.
Logo
f'(x)=\frac{-5x^{2}+2x+38}{(x^{2}+3x+7)^{2}}.
Analisando o sinal do numerador g(x)=-5x^{2}+2x+38: as raízes da equação g(x)=0 são
x=\frac{2\pm\sqrt{4+760}}{10}=\frac{2\pm\sqrt{764}}{10}.
A raiz positiva vale aproximadamente x\approx 2{,}9637. Portanto g(x)>0 para x\in(-2{,}56\ldots,\,2{,}9637) e g(x)<0 para x>2{,}9637. Em particular, para x\ge3 temos g(x)\le -1<0, logo f'(x)<0 para x\ge3. Conclusão: f é decrescente em [3,\infty), o que implica que a sequência (b_{n}) é decrescente a partir de n=3.

Passo 6

Aplicar o teste de Leibniz:
Temos mostrado:
  • b_{n}>0 para n\ge2,
  • b_{n} é decrescente para n\ge3,
  • \lim_{n\to\infty} b_{n}=0.
    Logo, pela regra de Leibniz, a série alternada
\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n} b_{n}
converge. Então a série original converge (pelo teste de Leibniz).

Passo 7

Estudar a convergência absoluta usando comparação assintótica (teste da comparação limite):
A série converge absolutamente se \sum_{n=2}^{\infty} b_{n} convergir. Compare b_{n} com 1/n. Calcule o limite
\lim_{n\to\infty} \frac{b_{n}}{1/n}=\lim_{n\to\infty} n\,\frac{5n-1}{n^{2}+3n+7} =\lim_{n\to\infty}\frac{5n^{2}-n}{n^{2}+3n+7}=5.
Esse limite é finito e positivo ( 5). Pelo critério da comparação limite, \sum b_{n} tem o mesmo comportamento de \sum \frac{1}{n}. Como \sum \frac{1}{n} (a série harmônica) diverge, segue que \sum b_{n} diverge. Portanto a série não converge absolutamente.

Passo 8

Conclusão final e interpretação:
  • A série \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n}\dfrac{5n-1}{n^{2}+3n+7} converge (pelo teste de Leibniz para séries alternadas).
  • A série não converge absolutamente (porque \sum b_{n} diverge por comparação com a série harmônica).

Resposta

Convergência absoluta: diverge (não converge absolutamente).
Convergência condicional: converge condicionalmente.

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